奧利給不等式 就是：
哈哈哈哈，開個玩笑~
其實，這是個諧音，「奧利給不等式」指的是「ALG不等式」（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities），中文又稱「對數均值不等式」 [1] 。
定義是：
\forall a,b>0\cap a\ne b. \Rightarrow\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b - \ln a}>\sqrt{ab}\tag{1}
即對於任意兩個非負且互不相等的數 a 和 b ，兩者的 算術平均數（Arithmetic mean） \frac{a+b}{2} 大於 對數平均數（Logarithmic mean） \frac{b-a}{\ln b - \ln a} 大於 幾何平均數（Geometric mean） \sqrt{ab} 。
對應的證明方法有很多，我找到了一個由 Roger B. Nelsen 教授給出的圖解證明法 [2] ，這也是我所見過的最為直觀簡潔的奧利給不等式證明方法，但是由於其原文中的公式有些錯誤，所以這裏重新寫一遍。
思路其實就是對比函數 y=\frac{1}{x} 在區間 (a,b) 所圍的面積與一個透過「內切」（左邊圖）形成的梯形面積與兩個透過「外接」（右邊圖）形成的梯形面積，進而得到不等式關系。
很顯然，兩種情況下，函數 y=\frac{1}{x} 在區間 (a,b) 所圍的面積都為：
\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx=\ln x|_{a}^{b}=\ln b - \ln a \tag{2}
對於左邊的圖，根據積分所得面積與梯形面積的關系有：
(註意這裏的梯形可以看做是長為 b-a ，高為 \frac{2}{a+b} 的矩形)
\ln b-\ln a>\frac{2}{a+b}(b-a)\tag{3}
\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b -\ln a}\tag{4}
對於右邊的圖，根據積分所得面積與兩個梯形面積和的關系有：
(開始吟唱：梯形的面積是上底加下底的和乘高除二!)
\ln b -\ln a<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\left(\sqrt{ab}-a\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\left(b-\sqrt{ab}\right)\\=\frac{ab-a^2}{2a\sqrt{ab}}+\frac{b^2-ab}{2b\sqrt{ab}}=\frac{b-a}{\sqrt{ab}}\tag{5}
\sqrt{ab}<\frac{b-a}{\ln b - \ln a}\tag{6}
綜上有：
b>a>0\Rightarrow\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b - \ln a}>\sqrt{ab}\tag{7}
而對於題主的問題，關於 \ln x 與 \frac{2x-2}{x+1} 的關系就很好比較了。
由奧利給不等式有：
\frac{x+y}{2}>\frac{x-y}{\ln x - \ln y}\tag{8}
現在只需要令 y=1 則有：
\frac{x+1}{2}>\frac{x-1}{\ln x - \ln 1}\tag{9}
所以當 x>1 時，有：
\ln x>\frac{2x-2}{x+1}\tag{10}
當 0<x<1 時，有：
\ln x<\frac{2x-2}{x+1}\tag{11}
當 x=1 時，有：
\ln x=\frac{2x-2}{x+1}\tag{12}
參考
- ^ Logarithmic mean https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean
- ^ Nelsen, Roger B. "Proof without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality." Mathematics Magazine 68, no. 4 (1995): 305. doi:10.2307/2690586.
