設小球下滑過程中轉過的圓周角為 \theta ，其中 0\le \theta\le\frac{\pi}{2} ，則根據能量守恒知 \frac{1}{2}mv^2=mgR\cdot\sin\theta\\ 解得 v=\sqrt{2gR\sin\theta}\\
再根據 a=g\cos\theta 以及 a=\frac{{\rm{d}}v}{{\rm{d}}t} 得 {\rm{d}}t=\frac{1}{a}{\rm{d}}v=\sqrt{\frac{R}{2g}}\cdot\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} \\ 因此 t=\int{\rm{d}}t=\sqrt{\frac{R}{2g}}\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} \\ 接下來的問題就是計算積分 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} ，這是一個數學問題。
方式一 套用Euler積分得 \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{-\frac{1}{2}}\theta{\rm{d}}\theta\\ &=\frac{1}{2}{\rm{B}}(\frac{1}{2},\frac{1}{4})\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma(\dfrac{1}{4})}{\Gamma({\dfrac{3}{4}})}\\ &\approx2.622 \end{align}\\ 方式二 套用橢圓積分得 \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\cos \theta}}\\ &=\sqrt{2}\cdot K(\frac{1}{2})\\ &\approx2.622 \end{align}\\
最後，代入得 \begin{align} t&=\sqrt{\frac{R}{2g}}\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{\sin \theta}} \\ &\approx0.592\rm{s} \end{align}\\
