矩陣力學的構造見於著名的—海森堡—約當矩陣力學三部曲(1925)，和狄拉克的一篇論文(1925)。玻恩與約當1930年合著的Elementare Quantenmechanik(基礎量子力學)對矩陣力學作了詳細的闡述。矩陣力學源起理解原子譜線強度的努力，關鍵是對頻率求和規則借助類比方法的量子改造。矩陣力學的思想基礎說到底是傅立葉分析，那是跨度達兩千年的人類智慧結晶。矩陣力學延伸了矩陣的演算法。包立於1926年使用矩陣力學解氫原子問題。
撰文 | 曹則賢 (中國科學院物理研究所)
1 引 子
本系列的目的是介紹量子力學的具體創立過程，實作這一目的手段是對創立者所發表論文的解讀與參照。當然，由於篇幅所限與筆者能力所限，我們的參照是片面的，解讀也是片面的，還會包含一些錯誤。本系列會盡可能地提供原文、譯文的出處，建議閱讀恰當的參考文獻作為補充，敬請讀者撥冗親自閱讀以形成自己的判斷。在引文或轉述的部份，筆者添加的自己的話會用{}括上，以免被誤解為原文作者的意思。英文引文一般不作轉譯。
本篇解讀量子力學之矩陣力學形式。有趣的是，一般量子力學教科書甚至都不提矩陣力
力學得到的結果。但是，矩陣力學很難懂，連拜因貝魯克(Steven Weinberg，1933—2021)這樣的物理學巨擘都覺得難懂。在 Dreams of a Final Theory (Pantheon Books，1992) 一書中，拜因貝魯克這樣寫道：「If the reader is mystified at what Heisenberg was doing, he or she is not alone. I have tried several times to read the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland, and, although I think I understand quantum mechanics, I have never understood Heisenberg’s motivations for the mathematical steps in his Paper」。這倒也道出來了問題的根源，從the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland是肯定弄不懂矩陣力學的。拜因貝魯克這樣的物理學巨擘承認自己不理解海森堡論文中的那些數學步驟，可能與他不關註人們理解原子譜線之寬度與明銳度特征 (圖1) 的努力有關。這些應該是原子物理教科書的內容，當然原子物理教科書裏也沒有。海森堡在慕尼黑大學當學生時即跟隨索末菲(Arnold Sommerfeld，1868-1951)研究譜線的寬度與明銳度問題，見於文獻：
[1] Arnold Sommerfeld，Werner Heisenberg，Bemerkungen über relativische Röntgendubletts und Linienschärfe (關於相對論性倫琴雙線以及譜線明銳度的說明)， Zeitschrift für Physik 10，393 (1922)；
[2] Arnold Sommerfeld，Werner Heisenberg，Die Intensität der Mehrfachlinien und ihre Zeeman-Komponenten (多重譜線的強度與譜線的塞曼分量)， Zeitschrift für Physik 11，131 (1922)。
圖1 原子譜線。觀察後思考，會發現光譜線有如下特征需要表征，包括譜線的位置(頻率)、譜線的強度(包括強度為0的情形)、譜線的寬度、精細結構，以及譜線對外加電磁場的響應(Zeeman effect，Stark effect)，等等
毫無疑問，海森堡1925年思考的問題是他在慕尼黑研究工作的繼續。海森堡1920年入慕尼黑大學學習，1922年即發表如此水平的論文，可見學術傳承的重要前提是有學術可供傳承。索末菲是量子論的奠基人之一，他透過本人以及門下一眾學生對近代物理的建立厥功至偉。
欲弄懂矩陣力學，得讀玻恩—約當以及狄拉克1925年的文章以及玻恩—約當1930年的專著 Elementare Quantenmechanik (基礎量子力學)。不是基於原作者的原始論文而是基於後來出現的回憶錄、報告、通訊以及文化學者們的研究閑談，是一些涉及矩陣力學的學術論述的通病。比如，不來梅大學的Günter Ludyk在 Quantum Mechanics in Matrix Form (Springer2018) 一書中寫道：「When returning from Helgoland (where he first had this crucial idea) to Göttingen, Heisenberg found out that the operations he applied to these tables were well known to mathematicians. The tables were called matrices, and the operations that he used to get from the table representing the electron velocity to the table representing the square was named matrix multiplication」，這純屬信口開河。在1925年那一年，海森堡不知道矩陣乘法，也沒幾個數學家知道矩陣。在1925年海森堡一人署名的文章 (不是他一人寫的) 中，矩陣一詞就沒出現過，而建立矩陣力學的第一篇文章，包含矩陣演算法與基於矩陣的量子力學推導的，作者為玻恩和約當。筆者多年前曾言：「數學是物理學的語言，是物理學的工具，也是物理學的目的 (之一) 」。矩陣力學之於矩陣數學，就是支撐第三條的例子。欲建立起矩陣力學，不僅要知道矩陣演算法，還得發展矩陣演算法——量子力學表述有發展矩陣演算法的需求。對這一點，玻恩、約當和狄拉克都做出了不同的貢獻。
現實是，雖然一年後有了波動力學還有了矩陣力學與波動力學等價的 (錯誤) 說法 (見後續文章)，矩陣力學遠不如波動力學那麽popular。人們當時歡迎波動力學，以及後來的量子力學基本上都被表現成波動力學形式，是因為把薛定諤方程式換成求本征值、固有函數的形式就是純粹經典的數學物理方程式問題了，連一點量子力學的味兒都沒有。
2 矩 陣
矩陣是一個了不起的數學概念。Matrix，拉丁語的本義是子宮 (womb)，與mater (母親) 同源。1850年，英國數學家James Joseph Sylvester (1814-1897) 造了matrix這個詞 [ Additions to the articles in the September number of this journal, 「On a new class of theorems,」 and on Pascal’s theorem, The London, Edinburgh, and DublinPhilosophical Magazine and Journal of Science 37, 363—370 (1850)]。在第369頁上有句雲：「For this purpose, we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This does not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants…」. 此外，「I have in previous papers defined a‘Matrix’as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent [ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester : 1837—1853, Paper 37, p. 247]」定義了項的矩形陣列，之所以名之為matrix，因為就像從母親的子宮產生孩子一樣從這個矩形陣列中可以產生出不同的systems of determinant。筆者之所以不逐字轉譯上述這段話，是因為我不知道該怎麽轉譯這裏的determinant一詞，我只知道當前的「矩陣值」譯法肯定不對。從一個matrix產生出不同的systems of determinant，指的是從一個矩陣中可以劃出不同的minor (漢譯余子式)。
矩陣概念的提出，應該與線性方程式組有關。如今我們把 n -個未知數寫成 x =( x 1, x 2, …, x n)的形式，則線性方程式組可以簡寫為 M ∙ x = c ，其中 c =( c 1, c 2, …, cn )是一組常數，而 M 是 n × n 個常數，排成一個方形陣列，就是英文的square matrix。Square matrix，方陣，看看這裏出現的情景，它是不是對應方程式啊。程，度量衡總稱。【九章算術】卷八雲：「程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。 並列為行，故謂之方程式 。行之左右無所同存，且為有所據而言耳。此都術也，以空言難曉，故特系之禾以決之。又列中、左行如右行也」。當然啦，我們把方程式M當成了 M ∙ x = c 這個事物的整體，對應英文的equation，德文的die Gleichung。然而，西文的equation，die Gleichung，字面上是等式的意思，故他們學方程式 (等式) 的時候自然而然地會關聯上恒等式 (identity) 和不等式 (inequality)。似乎咱們學方程式的時候又吃虧了不少。
矩陣作為某些物件 (實數、復數等) 的陣列，本身也可以作為一個物件，有屬於它的代數 (加法與乘法)。矩陣滿足結合律和分配律，但是一般來說不滿足交換律。這恰是它能在量子力學中發揮作用的原因。量子力學的一個被傳得神乎其神的特點不過就是物理量 (算符) 的非交換性 (滿足非交換代數。其實轉動在經典力學裏一樣遵從非交換代數)，矩陣正好有這個效能。一個方矩陣，具體地可寫成如下形式：
這裏的矩陣元 aij 的指標選取( i , j =1,2,… n )具有一定的任意性，比如把上式覆寫成
也沒關系。不過，當指標( ij )聯系著其他物理量時，比如是和一個ei nωt 因子結合在一起的，如何選擇就有講究了。你會看到在矩陣力學中，合適的矩陣的標記應該是
的樣子，即指標選為( i , j =0,1,… n )。矩陣力學的底色是傅立葉分析，傅立葉分析是和周期性存在相聯系的。後來的量子力學教科書對這個問題沒有感覺，其作者可能根本不知道量子力學在幹嘛。
為了用矩陣表示量子力學，光知道矩陣這個概念，甚至還知道矩陣的加法與乘法，那是遠遠不夠的。至少，還應該會熟練地對矩陣作為其他變量的函數以及矩陣作為變量的函數做微積分才行，這也是為什麽筆者要強調是約當和狄拉克這兩個人對矩陣力學做出重大貢獻的原因。沒錯，是約當和狄拉克這種學數學出身的年輕人對構造矩陣力學做出了重大貢獻。年輕不是創造的本錢，年輕時學到了真本領才有創造的可能。
3 加速電荷的輻射問題
1887—1888年，德國人赫茲 (Heinrich Hertz，1857-1894) 在實驗室產生了電磁波，這應該是電動力學歷史上的一個關鍵節點。1897年，電子的身份被湯姆生 (J. J. Thomson，1856-1940) 確立，這是電動力學歷史上的另一個關鍵節點。這樣，電動力學的面貌改變了。從前的電動力學是電流的電動力學，現在要研究帶電粒子的電動力學，而且要研究其輻射行為。這段時間的研究者有丹麥人Ludvig Lorenz (1829-1891)，荷蘭人Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)，英國人Joseph Larmor，法國人Alfred-Marie Liénard與德國人Emil Wiechert，等等。英國數學家、物理學家拉莫 (Joseph Larmor，1857-1942) 的三篇同名文章中有關於加速電荷會產生輻射的理論，結論是加速電荷發射的功率
[1] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Philosophical Transactions of the Royal Society 185, 719—822(1894)；
[2] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Part II, Proceedings of the Royal Society of London 58, 222—228(1895)；
[3] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Part III, 190, 205—300 (1897).
1900年，拉莫出版了 Aether and matter (Cambridge University Press) 一書，書裏有他關於這一段時間電動力學研究的總結。
關於加速電荷的輻射問題，另有法國物理學家Alfred-Marie Liénard (1869-1958) 在1898年發表的三部份文章 [A. Liénard, Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un point et animée d'un mouvement quelconque (集中於一點的、處於某種運動的電荷所產生之電磁場)， L'Éclairage Électrique 16 (27,28,29), 5—14, 53—59, 106—112(1898)]，其中給出了電磁勢的表達，且是相對論版的，可以用來計算輻射的分布。1900年，德國人Emil Wiechert (1861-1928) 也獨立發表了同樣的結果[E. Wiechert, Elektrodynamische Elementargesetze(電動力學基本定律)， Archives Néerlandaises 5, 549—573(1900)；重刊於 Annalen der Physik 309(4)，667—689 (1901)]。這個電磁勢的表達被稱為Liénard—Wiechert勢。在低速情形，由Liénard—Wiechert勢可以得到拉莫的結果。
拉莫的結果，即加速的電荷輻射電磁波，被稱為Larmor Proposition (拉莫命題)，但並不特別令人信服。原子核就在轉動，但並不輻射。根據廣義相對論，加速度等價於一個均勻的重力場，不理解為什麽加上一個重力場後一個本不輻射的電荷就輻射了。人們相信，也許應該說在某些情形下加速電荷會輻射電磁波。當然，來自原子的輻射還顯示出分立譜的特征，更是同已有理論不符。
玻恩、海森堡、約當的矩陣力學，考察的是電子輻射問題。其首要問題是加速電荷輻射之高階項在量子論中該如何表示的問題。至於這些輻射的高階項公式來自誰的推導，筆者尚未找到確切的、一對一的出處。這些公式的表達，德語原文和英文譯文似乎都有錯誤 (見下)。
4 克拉默斯的色散關系
在量子力學出現的臨界時刻 (1924-1925)，一個值得關註的關鍵人物是荷蘭物理學家克拉默斯 (Hendrik Anthony Kramers，也稱Hans Kramers，1894-1952)，見圖2。克拉默斯於1912—1916年在萊頓大學學習數學與物理，然後到哥本哈根自報家門 (visit unannounced) 跟隨玻爾 (Niels Bohr，1885-1962) 做博士研究，但是卻是在埃倫費斯特的名下於1919年在萊頓大學獲得的博士學位 (此處也可見同德語國家學位制度的不同)。克拉默斯的博士論文題目為「Intensiteit van Spectraallijnen」，但論文內容是英文的，英文題目為「Intensities of Spectral Lines」，筆者猜測這是為了照顧到丹麥—荷蘭兩方面的緣故。其內容，如其所言，為「On the application of quantum theory to the problem of the relative intensities of the components of the fine structure and of the Stark effect of the lines of the hydrogen spectrum (關於量子理論在氫譜線的精細結構與斯塔克效應的各單元之相對強度問題上的套用)」，這個句式連同the的用法真讓人受不了。
圖2 Hans Kramers在上課 (約在1921年)
關註原子譜線的相對強度是催生量子力學的關鍵。據克拉默斯所言，玻爾1918年有篇論文說基於量子理論可以回答譜線的極化 (偏振) 和強度問題 [不知道是不是指玻爾的Drei Aufsätze über Spektren und Atombau (論譜與原子結構三篇)]。筆者淺見，似乎後來的理論對譜線偏振的詮釋不怎麽令人信服，或者靠自旋概念就給解決了？光的偏振是表現在物理空間的，但我們又說自旋是內稟自由度。這問題此處放下不提。
1924年3月25日，克拉默斯自哥本哈根發出一篇文章[H. A. Kramers, The Law of Dispersion and Bohr’s Theory of Spectra, Nature 118, 673—674 (1924)]，討論色散關系。1924年1月5日，克拉默斯和海森堡自哥本哈根發出一篇文章[H. A. Kramers, W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome ( 論 原 子 對 光 的 散 射)， Zeitschrift für Physik 31(1), 681—708 (1925)]，得出了著名的Kramers—Heisenberg色散公式。這就是玻恩構造量子力學時一再參照的克拉默斯與海森堡的色散關系。奇怪的是，這篇文章竟然延宕了13個月才發表。
克拉默斯1924年的 Nature 文章內容可總結如下。輻射場中的原子是球次波的源 (source of secondary spherical wavelet)。{筆者再次強調，中文教科書把spherical wave轉譯成球面波是錯誤的。Spherical wave，充滿自源往外擴充套件的球形空間的波，球波。德語為Kugelwelle，用的是名詞「球」，更確切無疑}。在原子的位置上，電場向量為 ε = E cos2π νt 。次波可以認為是由電偶極(varying electrical doublet)發出的,
愛因斯坦在1916-1917年發展了一套輻射的概率理論 (probabilistic radiation theory)，這指的是愛因斯坦為得到黑體輻射普朗克公式所作的努力。愛因斯坦的這個模型提供了研究輻射—原子相互作用的出發點。
關於色散問題的研究，拉登伯格 (Rudolf Ladenburg，1882-1952) 為此持續忙碌了20年，發表了50多篇文章，例如後期的R. Ladenburg, F. Reiche, Dispersionsgesetz und Bohrsche Atomtheorie (色散規律與玻爾的原子理論)， Die Naturwissenschaften 12(33), 672—673 (1924); R. Ladenburg, F. Reiche, Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie (玻爾理論裏的吸收、散射與色散), 11, 584—598 (1923)，等等。把原子看成虛諧振子的集合 (a collection of 「virtual harmonic oscillators」) 是拉登伯格在1924年論色散理論的文章中隱性地提出的。
直到1925年，輻射與原子的相互作用都是量子理論的主題。研究主角有玻爾，斯拉特 (John Clarke Slater，1900-1976) 和克拉默斯，結果見於例如J. C. Slater，Radiation and Atoms, Nature 113, 307—308 (1924)；N. Bohr, Atomic Theory and Mechanics, Nature 116, 845—852 (1925)。這三人合作的論文[N. Bohr, H. A. Kramers, J. C. Slater, The quantum theory of radiation, Philosophical Magazine , Series 6, 47(281), 785—802(1924)]被稱為BKS理論，它不正確，但它在量子論發展史上非常重要。
以上兩節裏的內容是理解矩陣力學之所以發生的物理背景。玻恩在他1924—1925年的原子力學教程、提出量子力學概念的論文以及創立矩陣力學的論文中都一再強調克拉默斯的工作是不可忽略的。一般的科學史家會忽略這一點。至於關於矩陣的數學，筆者承認在閱讀矩陣力學論文之前從未在那些linear algebra (線的代數。不是線性代數) 書裏見到過相關內容。關於1885—1924年期間關於譜線研究的論文，筆者未能深入研讀以給出一個清晰的歷史與物理內容的表述，甚為遺憾。
5 矩陣力學三部曲
1925年，德國哥廷恩大學的教授玻恩 (Max Born，1882-1970) 率同他的兩位年輕助手海森堡(Werner Heisenberg，1901—1976)和約當(Pascual Jordan，1902-1980) 投出了三篇文章，此即俗謂的矩陣力學三部曲，分別是：
[1] W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (運動學的與力學的關系的量子理論再詮釋)， Zeitschrift für Physik , 33, 879—893, 1925 (1925年7月29日收稿)；
[2] M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik (論量子力學), , 34, 858—888,1925 (1925年9月27日收稿)；
[3] M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Zur Quantenmechanik II (論量子力學 II), , 35, 557—615, 1926 (1925年11月16日收稿) 。
請註意這三篇論文的題目、作者署名及順序、收稿日期，發稿地皆為哥廷恩！第一篇論文的題目是「運動學的與力學的關系之量子理論的再詮釋」，而第二篇、第三篇是同一篇文章的兩部份，題目為Zur Quantenmechanik，但作者從玻恩—約當兩人調整為玻恩—海森堡—約當三人。純從這三篇文章紙面上的題目和作者安排來看，筆者傾向於認為創立矩陣力學的還是玻恩 (背後的故事以後再說)。一年前玻恩引入量子力學一詞時，文章題目為Über Quantenmechanik。若認為Zur Quantenmechanik和Über Quantenmechanik這兩者是同一個題目，都可以譯為「論量子力學」，這沒有問題。但是，Zur=zu+der，介詞zu就是英文的to，故而若我把Zur Quantenmechanik譯成「走向量子力學」，似乎更貼切，更能說明了點兒什麽。當然，還是要看文章的內容到底在說什麽。從前不方便拿到論文的德文原版，也沒有英文譯本，我們只能靠他人的三言兩語參照來管中窺豹。現如今德文原文和英文譯本都很容易從網上獲得，我們還是要自己研讀、自行判斷才好。這三篇論文的原文以及流傳的英譯本都有(排版)錯誤，請朋友們閱讀時註意。
5.1 第一篇
圖3是矩陣力學三部曲第一篇的截圖。這篇文章是海森堡寫了個稿，於1925年7月9日交給玻恩尋求指導的[Abraham Pais, Niels Bohr’s times: in physics, philosophy, and polity , Clarendon (1993); Helmut Rechenberg, Werner Heisenberg—Die Sprache der Atome ( 維 納·海 森 堡 — 原 子 有 話 說)，Springer (2010)]。至於玻恩添加了什麽內容，以及最後這篇文章是誰人定稿的，筆者不詳。對的，題目裏面沒有量子力學一詞，正文中也只出現過一次「quantenmechanischen」的字樣，而「矩陣」一詞則從未出現過。對運動學的和力學的關系的再詮釋或曰換個表達，目的是為一個基於原則上可觀測量之間關系的「量子理論的力學 (quantentheoretische Mechanik) 」奠定基礎。
圖3 矩陣力學三部曲的第一篇。其中的文字為「運動學的與力學的關系的量子理論再詮釋，來自哥廷恩的W. Heisenberg(1925年7月29日收稿)」
量子理論的形式規則 (formale Regeln) 對氫原子及其斯塔克效應 (Stark effekt) 是可用的，但是對置於交叉電磁場下的氫原子，或者多電子的原子，就不好使了。漸漸地，這些量子理論的計算規則——其本質上是以經典力學的套用作為特征的——的失效被看作是對經典力學的偏離 (dieses Versagen der quantentheoretischen Regeln, die ja wesentlich durch die Anwendung derk lassischen Mechanikcharakterisiertwaren, als Abweichung von der klassischen Mechanik zu bezeichnen)。{請大家註意，至少到此時，量子理論的特征是經典力學}。這種偏離 (Abweichung) 的說法是無意義的。應該類比經典力學，建立一個量子論的力學 {請按照機理、學問來理解} ，其中只出現可觀測量之間的關系。作為對這樣的量子論的力學之首要的、最重要的Ansätze {可理解為建設基礎，假設的前提，搭建結果。Ansatz(復數為Ansätze)來自動詞ansetzen，就是setup。但是類似的德語詞會同時表示過程與結果，比如在肚子上搭建的結果，Bauchansatz，就是啤酒肚。在另一個物理語境中，Ansatz被漢譯為預設解}，除了頻率條件以外，還有克拉默斯的色散理論以及相關工作。
這個條件也只能把 aα 確定到尚差一個常數，這在半量子數出現的時候會帶來困難。
式(A4)有一個同克拉默斯色散關系相聯系的改造形式，即所謂的Kuhn-Thomas-Reiche f-sumrule (頻率求和規則){相關參考文獻為W. Kuhn，Über die Gesamtstärke der von einem Zustande ausgehenden Absorptionslinien (從一個狀態產生的吸收譜線的總強度)， Zeitschrift für Physik 33,408—412(1925); W. Thomas, Über die Zahl der Dispersionselektronen, die einem stationären Zustande zugeordnet sind (Vorläufige Mitteilung) [可以歸於某個穩態的色散電子的數目(暫時通報)]， Naturwissenschaften 13, 627(1925); F. Reiche, W. Thomas, Über die Zahl der Dispersionselektronen, die einem stationren Zustand zugeordnet (可以歸於某個穩態的色散電子的數目)， Zeitschriftfür Physik 34, 510—525(1925)}。譜線頻率求和規則是從原子譜線研究中自然而然引出的問題。由求和規則
5.2 第二篇
圖4是矩陣力學三部曲第二篇的截圖。這篇長31頁的論文分為五個部份：導言；第一章，矩陣計算；第二章，動力學；第三章，檢驗非簡諧振子；第四章，電動力學評論。文章的作者為玻恩和約當。此文目的是把海森堡上一篇論文中的Ansätze發展成量子力學的系統理論 (zu einer systematischen Theorie der Quantenmechanik)，數學工具是矩陣計算，力學的運動方程式從變分原理匯出，基於海森堡的量子條件可以由力學方程式匯出能量定理和玻爾的頻率條件。{玻恩說此文會討論分振動的相位(die Phase in den Partialschwingen)的意義。筆者提醒，對一個物理量作傅立葉展開，各分振動是否是獨立的，相位是什麽意思，這些是歷史悠久的力學問題，也是導向量子力學的必經途徑。一般的英文教科書裏都不關註這個問題}。
圖4 矩陣力學三部曲的第二篇。圖中文字為「走向量子力學，來自哥廷恩的M. Born和P. Jordan(1925年9月27日收稿)」
海森堡為新的運動學和力學提出的Ansätze可理解為試圖構建一個新的、確實契合的概念系統，而非借助或多或少人為的、硬性的同舊有概念的匹配 (künstliche und gezwungene Anpassung der alten gewohnten Befriffe) 以解釋新的事實。因為有對他的思考尚在新生狀態 (in statu nascendi) 就知曉的便利，因此在他的研究一結束我們倆就開始去弄清楚他的Ansätze的數學形式內容(Begünstigt durch den Umstand，daß wir seine Überlegungen schon in statu nascendi kennenlernen dürften, haben wir uns nach Abschluß seiner Untersuchungen bemüht, den mathematisch-formalen Gehalt seinerAnsätze zu klären)。{玻恩這麽說，是因為在這個階段玻恩是哥廷恩大學的教授，海森堡是他的助手，約當是他的學生及助手。海森堡寫下了前一篇文章裏的一些結果給玻恩看，玻恩先是請前助手包立幫忙做其中的數學部份，包立沒有同意，後由約當接手完成。D. H. Delphenich的英文譯文把「Begünstigt durch den Umstand，daß wir seine Überlegungen schon in statu nascendi kennenlernen dürften」轉譯成「 Encouraged by the fact that we can already understand his argument in statu nascendi」，不知是何居心。隨便找個字典也會告訴你「Begünstigt durch den Umstand，…」大約對應英文的「having the advantage that…」。} 我們表明，在海森堡的基礎上是可以達成一個既同經典力學明顯密切類比又保證具有量子現象標簽性特點的量子力學之閉合的數學理論大廈的(auf der von Heisenberg gegebenen Grundlage das Gebäude einer geschlossenen mathematischen Theorie der Quantenmechanik in merkwürdig enger Analogie zur klassischen Mechanik, doch unter Wahrung der für die Quantenerscheinungen kennzeichnenden Züge zu errichten)。
(1)矩陣計算
{玻恩1908年受閔考斯基指點回哥廷恩做Habilitation，選擇的研究方向是相對論。為此，數學家Otto Toeplitz (1881-1940)曾幫助玻恩梳理矩陣代數知識，從而能夠使用好閔考斯基空間矩陣以調和相對論和電動力學，這大概是玻恩熟稔矩陣計算的原因。玻恩和約當給出的他們學習矩陣知識的參考書是Maxime Bocher的 Introduction to higher algebra , MacMilan(1907)和R. Courant，D. Hilbert, Methoden der mathematischen Phyik (數學物理方法)，Springer(1924)。這部份內容，比筆者本人在其他地方學到的矩陣要多一些。除了指出一般來說矩陣不對易以外，即 pq ≠ qp ，這部份的關鍵是鋪墊了一些矩陣微分和矩陣函數的知識。首先，請註意，不同於一般數學書上的矩陣表示 M ij ，指標 i j 計數是從1開始，這篇文章中的矩陣指標是從0計數的，這一點非常重要。筆者是在撰寫【雲端腳下】時思考這個問題的，並在2022年度中國數學學會年會的報告中闡述了自然數須從0開始的理由，當時並未註意到玻恩和約當的這個做法。不知道一些量子力學教科書把矩陣力學裏的矩陣指標計數改成從1開始時是否明白他們在幹什麽}。本文采用矩陣計算作為輔助工具，特別是用矩陣表示量子理論的量的乘法。定義了矩陣的平
(2)動力學
動力學由座標和動量描述。作為矩陣可假設有形式：
(4)電動力學評論
當 q 是笛卡爾座標時，絕對值平方| q ( nm )|^2是躍遷概率。有個問題，電動力學的基本方程式如何根據新理論予以換個詮釋 (umdeuten) ？本文裏的考慮，有臨時性的特征。當前的理論與光量子理論 (Theorie der Lichtquanten) 的關系應該得到闡述。電磁振蕩的空腔是有無窮多個自由度的，但根據本征振動分析，可以過渡到非耦合的振子系統，因而我們這裏發展的理論是可以用來處理它的。由此可見基本電磁方程式是線性的 (疊加原理)，這事兒具有特殊意義(Dabei erweist sich der Umstand, daß die elektromagnetischen Grundgleichungen linear sind (Superpositionsprinzip), von besonderer Bedeutung)，這樣關於電磁場的替代振子就是諧振的，能量定律之成立與量子條件無關(die Gültigkeit des Energiesatzes unabhängig von der Quantenbedingung)。{這一年，23歲的狄拉克也及時跟上了量子力學研究。在狄拉克那裏，疊加原理成了出發點。此前筆者讀狄拉克1930年的經典時，一直不知道為什麽他那麽強調疊加原理。現在算是大概明白了。}
5.3 第三篇
這第三篇是對第二篇的延續，署名為玻恩—海森堡—約當三人，全文長59頁 (圖5)。內容大致如下：第一章，單自由度系統；第二章，任何多自由度系統的理論的基礎；第三章，與厄米特形式的本征值理論的關系{從時間上看，薛定諤1926年發表他的波動力學論文第一部份時應該沒看到這篇。是否私下交流過，待考}；第四章，理論的物理套用。{這篇長文的數學部份和寫作都是約當完成的。許多量子力學書甚至都不會提到約當這個名字，後續文章會回到這個問題}。
圖5 矩陣力學三部曲的第三篇。圖中文字為「走向量子力學II，來自哥廷恩的M. Born, W. Heisenberg和P. Jordan(1925年11月16日收稿)」
這篇文章太長，不方便在本文中詳細分析。其最後部份把量子理論用於黑體輻射是亮點，筆者的【黑體輻射】對這部份未予充分重視，甚感遺憾。文章指出，量子論得出諧振子的能量為 nhν ，而這恰是普朗克要為空腔輻射預先假設的。文章說量子理論能證明分體積中熵的可加性(die Additivität der Entropiender Teilvolumina in der Quantenmechanik der Wellerfelder nachweisen könnte)，這正是愛因斯坦得到輻射場能量漲落的重要出發點。許多方法能得到正確的普朗克公式，卻不能得到正確的漲落表達。愛因斯坦的漲落公式裏的一項是經典理論所沒有的，量子理論補足了另一項{這部份請和愛因斯坦1917年的論文一起參詳}。這篇文章還說，本沒有什麽反常塞曼效應(daß es also eigentlich gar keine anomalen Zeemaneffekte gebe)。大自然裏本沒有反常。如果物理學裏有反常，那是物理學良心壞了。此外，論文中還用到了幹涉漲落(Interferenzschwankungen)，德拜統計 (die Debyesche Statistik) 等概念。
這篇論文的部份內容，後來在1930年的玻恩與約當合著的 Elementare Quantenmechanik (基礎量子力學) 一書中以更加清晰的方式闡述了，讀來更加易懂。試截取一段，方便讀者朋友了解矩陣力學的初步基礎。物理量 q , p 有傅立葉變換：
此處的 pτ ， qτ ， ν 都是作用變量 J 的函數 {請參考經典力學的作用——角座標}，
對上式兩側關於 J 求微分，得：
{讀者朋友看看一般量子力學教科書是否讓你理解到對易式到底在表達什麽。3月18日本文初稿完成時，筆者認識到 qp - pq =1還是圓方程式。}
6 狄拉克對矩陣力學三部曲第一篇的響應
1925年對矩陣力學的建立有貢獻的還有狄拉克 (P. A. M. Dirac, 1902-1984)的一篇論文[P. A. M. Dirac, The Fundamental Equations of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society of London , Series A, 109(752), 642—653(1925)]。這時的狄拉克，剛從工程數學專業轉學物理不過兩年。順帶說一句，狄拉克1926年送出了第一篇量子力學博士論文，成了歷史上第一個量子力學博士，其導師為Ralph H. Fowler (1889-1944)。
海森堡的文章指出不是經典力學的方程式有錯，而是從方程式得到物理結果的數學操作需要改變 (the mathematical operations by which physical results are deduced from them require modification)。{下面這一段，解了我多年的困惑}。經典力學是這麽幹的。考察一個 u 自由度的力學系統，假設座標表示成 多重傅立葉級數 的形式
不隨時間變換的量，必是個對角陣。對於穩態的描述，經典定律是成立的 (the classical laws hold for the description of the stationary states)，特別地能量是 J 的函數。 x ( nm ) H ( mm )- H ( nn ) x ( nm )=
( nm )i h /2π=- ω ( nm ) x ( nm )h/2π，此即 H ( nn )- H ( mm )= h /2π ω ( nm )，也就是玻爾條件。
7 包立對矩陣力學的套用
包立比海森堡大一歲，在慕尼黑大學索末菲那裏是同門，又畢業後都給玻恩做過助手。海森堡在1925年思考如何計算譜線強度期間同包立有過不少交流。實際上，玻恩看明白了海森堡論文中要用到的數學是矩陣，於是要求包立來完成其中的數學部份的，但包立拒絕了。矩陣力學三部曲發表後，包立迅速跟上了這門新的力學，發表了[Wolfgang Pauli, Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (新量子力學觀點下的氫原子譜)， Zeitschrift für Physik 36(5)，336—363(1926)]一文，用它得到了氫原子光譜巴爾末項的表達。這成了第一個矩陣力學套用案例。包立沒有插手發展矩陣力學的事情，不知道包立後來後悔過沒有。筆者以為，如同狄拉克的論文，包立這篇論文是對矩陣力學的發展，是矩陣力學的有機組成部份。
順帶說一句，包立這篇工作顯然受到了在漢堡大學為其做助手的教授楞次的影響。楞次 (Wilhelm Lenz，1888-1957)，不是楞次定律的那個楞次 (Heinrich Lenz，或者Emil Lenz，1804-1865)，以關於開普勒運動的研究而著名，名字寫入了Laplace-Runge-Lenz向量這個概念中。楞次研究開普勒運動的量子態[Wilhelm Lenz，Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (論受擾動開普勒運動的過程與量子態)， Zeitschrift für Physik 24(1)，197—207(1924)]，包立借用這裏的表述與方法進一步發展了矩陣力學。愚以為，楞次和包立的兩篇文章，加上薛定諤的波動力學解 (數學上得到了外爾的幫助)，構成了對氫原子問題 (開普勒運動的量子版) 的量子力學處理。一般量子力學教科書和史書會從玻爾的量子化條件直接給出個氫原子波函數了事，楞次和包立的文章鮮有人提及。筆者修習原子物理和量子力學時，一直不明白從平面型的經典力學行星模型怎麽就一下子跳躍到了氫原子的三維波函數描述，現在 (2024.04.17) 明白了這列根本沒有跳躍，只是我不知道而已。也許，要求後來談論量子力學的人具有起碼的數學知識非常不合人情。如下是對包立論文的摘錄。
新力學可以正確地給出單電子原子的巴爾末項 (Balmerterme)，也可以用來討論外加電磁場對氫原子光譜的影響。{玻恩等人的} 量子論原理的新表述相對於至今的多周期系統的理論 (Theorie der mehrfach periodischen Systeme) 是個巨大的進步。新理論中除了經典運動學量的平均值以外只引入了調諧分振動 (harmonische Partialschwingungen)，其與兩個狀態之間的躍遷概率直接相關。當然這個分振動不再當作原子中電子的「軌域」來理解了。{軌域是一個單一物件問題，而躍遷是牽扯兩個物件的問題。這才是海森堡思想的價值所在，也是數學表達要面對的問題。區別不在於可觀測量與非可觀測量}。在這個思想上，玻恩—約當，狄拉克，以及玻恩—海森堡—約當進一步構建了這個理論，將之納入一個數學體系 (weiter ausgebaut und in ein konsequentes mathematisches System
8 海森堡論及矩陣力學
在海森堡的著作中，帶「量子」一詞的有 Die Physikalische Prinzipien der Quantentheorie [量子理論的物理基礎，BI Hochschultaschenbuch(1930)]一書。該書由海森堡1929年在芝加哥大學的講座結集而成，共80頁。在這本書的第42，79，80頁上提及了矩陣一詞。海森堡在書中寫道：「經典力學中兩個傅立葉級數的乘積為
9 補充說明
矩陣力學源起於海森堡關於譜線強度的思考，由玻恩和約當構造而成，其系統性提升以及具體套用案例則是由狄拉克和包立完成的。欲理解矩陣力學，本文介紹的海森堡 (1925)，玻恩—約當(1925)，玻恩—海森堡—約當 (1925)，狄拉克 (1925) 和包立 (1926) 這5篇文章是基礎。由於篇幅和筆者水平所限，這裏的介紹是遠遠不足以反映這些文章內容的全部。倘若有時間，筆者真想寫一本【矩陣力學】的專著，因為在撰寫本文的過程中我忽然註意到了量子力學的二象性，量子更多地見於矩陣力學，而力學 (不是「力」學！)更多地體現在波動力學中。
矩陣力學來自對原子光譜的研究。關於後者，除了海森堡與索末菲的工作以外，拉莫和克拉默斯在這方面的工作非常關鍵。矩陣力學的不好懂，愚以為很大程度上是因為對這兩位的忽視，當然也是因為相關的知識比較深刻而且麻煩。關於量子力學這門學問本身具有的矩陣力學~波動力學二象性，容筆者瞎說哈，將波動形式的函數 (對應傅立葉分析) 套用於Hamilton-Jacobi方程式，得到薛定諤方程式；將約當的關系 p =-iℏ∂ (來自矩陣力學) 套用於薛定諤方程式，得到經典力學的數理方程式。波動力學之所以大受歡迎，是因為將關系 p =-iℏ∂代入薛定諤方程式後得到的，是在經典力學、經典電動力學中隨處可見的數理方程式，那不過就是二階微分算符在不同維度、不同對稱性的空間中的本征值問題而已。
筆者以為，矩陣力學是同經典力學、經典電動力學血肉相連的，是可見到如何構建量子力學的思想嘗試的。此文中提到的5篇矩陣力學論文，玻恩、約當1930年合著的【基礎量子力學】，狄拉克1930年著的【量子力學原理】，馮諾依曼1932年所著的【量子力學的數學基礎】，可作為修習矩陣力學的絕佳參考。一本不包含矩陣力學部份的量子力學教科書，是有瑕疵的。
玻爾量子化條件裏的量子數 n ，索末菲的研究表明它對應量子標簽( nkm )中的 k [或者是如今記號的( nlm )中的 l ]。之所以會有這個錯誤插曲的發生，那是因為對於未加外場的氫原子，其量子狀態是退化的 (entarted，degenerated.漢譯簡並)。實驗上加電場和磁場 (文獻中會表述為垂直的電場與磁場) 會將退化去除 (Aufhebung) 從而讓問題全面展現出來，包立在利用矩陣力學求解氫原子問題時則是利用了 pz ， L 2必須是對角陣從而引入對應的量子數。模模糊糊認識到體系存在退化，透過消除退化把問題充分表現出來得到關於問題的足夠復雜的解，反過來了認識了什麽是退化，這應該是科學方法論的一個有價值案例吧。
對應原理在矩陣力學的建立過程中扮演著重要的角色。然而，對應原理不是那些英文量子力學史或者量子哲學裏字面上的對應原理，而是借助類比 (Analogon) 把經典色散關系寫成量子論的表達形式，那才是量子力學的基石，見得學問創造者的功夫。
一個奇怪的現象，在當前這個階段討論原子物理，包括光譜、原子力學、矩陣力學和波動力學，一些著作似乎不能明確地區別電子的運動表述(座標、動量、軌域或者角動量、Laplace-Runge-Lenz向量、能量、躍遷概率等)與輻射提供的可觀測量 (包括譜線的頻率、強度、寬度、偏振、精細結構、塞曼效應，斯塔克效應等)。電子 (原子裏的電子) 與輻射 (來自原子的輻射) 是一個硬幣的兩面，那是一個硬幣啊，那是兩面啊。
歷史上，矩陣力學三部曲之第一篇論文源起海森堡考慮譜線強度問題。海森堡把一些想法寫下來交給玻恩，玻恩認識到這裏面的矩陣問題，於是請數學比較好的包立幫忙做數學演算部份。包立沒接受這件事，玻恩又轉而讓數學比較好但更年輕的助手約當來做。至於對這篇文章約當做了多少數學、寫了多大的篇幅，筆者未見到具體可靠的文獻。讀者可將這篇論文與海森堡1927年自己寫的關於不確定性原理的論文以及專著 Der Teil und das Ganze (部份與整體) 做個比較，看看有什麽不一樣。
矩陣表示有兩個指標。關於躍遷過程，那是涉及兩個狀態的產生光的過程。所以，由躍遷過程導向矩陣力學的建立，有其內在的必然性。想起一個問題，就是有些人所謂的躍遷時間的問題，有人甚至把某個能階的壽命同兩個能階之間躍遷所造成的譜線之寬度聯系起來，並硬說這兩者之間有倒數關系，不知道是如何忽視電子壽命是關於一個能階的問題 (或者說一個能階相對所有其他能量更低能階的問題) 而躍遷是關於兩個特定能階的問題此一事實的？愚以為，談論兩個能階之間躍遷的過程 (用時，time duration) 是對躍遷過程的誤解。躍遷何時發生有時間的問題，但電子躍遷不存在從能階1到能階2的問題。打個十分恰當的比喻。結婚是牽扯到一對男女的問題。雖然結婚相對於其他物理事件 (比如鐘表指標位置) 是有確切的時間標記的，甚至這一對男女領結婚證的時間有先有後，但是他們成為法律意義上的一對夫妻在他們兩人之間卻是沒有時間性過程的。電子躍遷，就發生時刻而言，對兩個能階是不加區別的。
狄拉克考慮矩陣力學問題，一上來就敢發展矩陣演算法。後來他還針對建立量子力學用到了
式分解，參見其所著的【量子力學原理】一書。一個人學電氣工程、學數學，到21歲上得到碩士學位，轉到劍橋大學去學習相對論，在23歲上即憑借一篇量子力學論文一鳴驚人，還在1926發展了相對論量子力學、1928年提出正電子的概念，在玻恩提出量子力學一詞不過6年後即撰寫了量子力學經典，這是怎樣的奇跡？是誰教狄拉克遇到需要新數學的情形就自己去構造的？筆者特別困惑的是，對著沒有交代過這些奇異數學的量子力學教科書，一些老師和學生是怎麽做到不困惑的？
請允許我瞎說，狄拉克1928年提出相對論量子力學的工作是他關於矩陣力學工作的延續。相對論量子力學的關鍵是狄拉克矩陣。及至後來外爾 (Hermann Weyl，1885-1955) 和維格納 (Eugene Wigner，1902-1995) 加入了量子力學表示的努力，所使用的工具是群論。群表示所使用的工具是矩陣。未來的關於強相互作用的蓋爾曼 (Murray Gell-Mann，1929-2019) 的規範場論，其關鍵是Gell-Mann矩陣。矩陣對量子力學的意義，請讀者朋友仔細掂量掂量。比如，愚以為矩陣力學對此後一年誕生的波動力學的重要意義是為其準備了概念系統。
為什麽很多人提及量子力學時更願意談論「怪力亂神」？我猜測是因為未在經典力學和數學物理方面上下過功夫。就矩陣知識而言，筆者此前看過的矩陣分析的書，包括 線的代數 (不是線性代數！) 的書，都沒有達到玻恩—約當的高度，更沒有提示我們可以象狄拉克那樣，在需要時可以自創矩陣演算法。我越來越厭惡那些把一個主題只是浮光掠影點到為止地介紹幾句的書。如果你想談論一個主題，請盡可能全面、深刻地談論，懂不懂的那是讀者的事情。但是，若作者只介紹一些皮毛還故意地暗示這是一出精彩大戲之全部，那就有點兒不太合適了！
參考文獻
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[2] Green H S. Matrix Mechanics. P. Noordhoff Ltd.，1965 {作者是玻恩的學生，玻恩為本書做了序。不過，這本書中有很多不合事實的地方，比如關於普朗克是如何得到黑體輻射公式的。}
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本文經授權轉載自微信公眾號「中國物理學會期刊網」，原文刊發於【物理】2024年第5期。
特 別 提 示
