當物體旋轉不快的時候，「離心力」看起來不大，但如果不對邊界加以限制，物體會很快加速到一個令人意想不到的速度。
昨天在刷抖音，突然看到了下面這個影片，影片裏說：勻速旋轉的光滑桿上串著一個小球，如果桿一秒旋轉一圈，那麽距離中心 1cm 的小球會在三圈半後超過光速。
看到這個結論後，我虎軀一震，覺得有些不可思議。於是我掏出了紙和筆，演算了一番。
解題過程
首先，我們可以把球的速度分成「水平方向」和「垂直方向」。
v=\sqrt{v_{//}^{2}+v_{\bot}^{2}} (1)
高中物理告訴我們，對於圓周運動，我們有：
v_{//}=\omega r (2)
a_{\bot}=\omega^2r (3)
這個 \omega ，是指圓周運動的角速度； a_{\bot} 是指垂直方向的加速度；
顯然，我們還有
\frac{dv_{\bot}}{dt}=a_{\bot} , \frac{dr}{dt}=v_{\bot} (4)
帶入 (3) 式，我們有：
\frac{d^{2}v_{\bot}}{dt^{2}}=\omega^{2}v_{\bot} (5)
這是一個簡單的「二階微分方程式」，可以描述為
v_{\bot}''-\omega^{2}v_{\bot}=0
特征方程式： \lambda^{2}-w^{2}=0
兩個解： \lambda=\pm\omega
於是方程式 (5) 的通解是： v_{\bot}=C_{1}e^{\omega t}+C_{2}e^{-\omega t} (6)
考慮到邊界條件：
v_{\bot}(t=0)=0
v_{\bot}'(t=0)=a_{\bot}(t=0)=\omega^{2}r_{0}
帶入 (6) 式，有
C_{1}+C_{2}=0
\omega(C_{1}-C_{2})=\omega^{2}r_{0}
於是解得：
C_{1}=\frac{1}{2}\omega r_{0} , C_{2}=-\frac{1}{2}\omega r_{0}
於是：
v_{\bot}=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}-e^{-\omega t})
v_{//}=\omega r =\omega(r_{0}+\int_{0}^{t}v_{\bot} dt)=\omega r_{0}(1+ \frac{1}{2}(e^{\omega t}+e^{-\omega t}-2) )=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})
考慮到， \omega t 比較大的時候，負向指數趨於 0。
於是有： v_{\bot}\approx\frac{1}{2}\omega r_{0}e^{\omega t} \approx v_{//}
帶入 (1) 式，有：
v\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\omega r_{0}e^{\omega t}
這個最終的結果展示了， 小球的速度隨時間將以指數的方式增長。
小球加速到光速的時間：
t_{c}\approx\frac{1}{\omega} \ln \frac{\sqrt{2} c}{\omega r_{0}}
在本問題中， \omega=2\pi , r_{0} =0.01
得出 t 約為 3.602 秒。
如果不考慮相對論效應，的確會在 3 圈半後超過光速！
當然了，這只是一個在牛頓力學體系下理想實驗，實際上，並沒有完全光滑的、每秒旋轉 1 圈的、無限長的桿子。
