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我以 440 次每秒的速度彈 C 聽起來會像 A 嗎?

2022-10-14科學

會像 A 音。

彈奏一次 C 鍵發出的聲音,是一個基頻為 261 Hz 的振動 c(t) ,乘上一個漸漸衰減的包絡 e(t) 。

如果第二次彈 C 鍵時,第一次彈 C 鍵發出的聲音不會消失,那麽包絡 e(t) 可以慢慢衰減到 0;如果第二次彈 C 鍵時,第一次彈 C 鍵發出的聲音立刻消失,那麽包絡 e(t) 就會立刻衰減到 0。總之,包絡 e(t) 是一個在時域上並不算長的波包。

現在以 440 次每秒的速度彈 C 鍵,這樣發出的總的聲音 x(t) ,相當於每彈一次 C 鍵發出的聲音 c(t) \cdot e(t) 與一個頻率為 440 Hz 的沖激串 a(t) 摺積: x(t) = [c(t) \cdot e(t)] * a(t) \\ 下面進行傅立葉變換。時域相乘等於頻域摺積,時域摺積等於頻域相乘。於是各個訊號的頻譜滿足如下關系: X(f) = [C(f) * E(f)] \cdot A(f) \\ 分析每一個訊號:

  • c(t) 是基頻為 261 Hz 的(不一定簡諧的)振動,故 C(f) 是一個間隔為 261 Hz、高低不一的沖激串;
  • e(t) 是個比較短的時域波包,故 E(f) 是一個比較寬的頻域波包;
  • a(t) 是頻率為 440 Hz 的沖激串,故 A(f) 是一個間隔為 440 Hz、高低統一的沖激串。
  • C(f) 跟 E(f) 一摺積,沖激串就彌散開來了。再與 A(f) 相乘,就會形成一個間隔為 440 Hz、高低不一的沖激串。變換回時域,就是一個基頻為 440 Hz 的(不一定簡諧的)振動,也就是聽起來像 A 音。

    嘛,做了下實驗,如果第二次彈 C 鍵時,第一次的聲音不消失,那麽在剛開始彈時的暫態,還是能聽出 C 音的,但穩態就只有 A 音了。