高中的時候老師提到過一次，我就真的跑去硬算了一遍……結果如下：
設 \[{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\] ， \[{b_n} = {b_1}\cdot{q^{n - 1}}\]
最後算出： \[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n}\]
\[ = \left[ {\frac{{{b_1}d}}{{q - 1}} \cdot n + \frac{{\left( {{a_1} - {a_1}q - 1} \right) \cdot {b_1}d}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}}} \right]{q^n} - \frac{{\left( {{a_1} - {a_1}q - 1} \right) \cdot {b_1}d}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}}\]
就……算出以後感覺挺意外的，真的可以把它寫成 \[\left( {An + B} \right){q^n} - B\] 的形式。
還記得當時上課的時候老師繪聲繪色的教我們怎麽偽裝，先在試卷上寫上：
設： \[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n} \ \ ① \ \ \]
則： \[q{S_n} = {a_1} \cdot {b_2} + {a_2} \cdot {b_3} + \cdots + {a_n} \cdot {b_{n + 1}} \ \ ② \ \ \]
接著在草稿紙上迅速的算出 \[{S_1}\] ， \[{S_2}\] ，並由此解出 \[\left( {An + B} \right){q^n} - B\] 中的 A、B （就是一個非常簡單的二元一次方程式）。
然後在試卷上寫道：由 ① \ \ 式減 ② \ \ 式，化簡可得： \[{S_n}= \cdots \]
畢竟老師不是很相信大部份學生的計算水平，這個方法確實簡單易懂，且出錯率低，在高中階段是可取的。
後來上了大學，無意間發現了一種新的計算等差乘等比數列求和的方法，在這寫一下，希望對讀者有所幫助。
一樣的，還是設 \[{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\] ， \[{b_n} = {b_1}\cdot{q^{n - 1}}\]
\[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n}\]
\[ = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\left( {{a_1} - d} \right) + d \cdot i} \right] \cdot {b_1}{q^{i - 1}}} \]
\[ = {b_1}\left( {{a_1} - d} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{q^{i - 1}}} + d{b_1}\sum\limits_{i = 1}^n {i\cdot{q^{i - 1}}} \]
該等式的前面就是一個簡單的等比數列求和，我們來看後面的那個 \[\sum\limits_{i = 1}^n {i \cdot {q^{i - 1}}} \]
在這裏，我要求讀者們把思維轉變一下，將 \[{i \cdot {q^{i - 1}}}\] 看成 \[\left( {{q^i}} \right)'\]
這樣就會有： \[\sum\limits_{i = 1}^n {i \cdot {q^{i - 1}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{q^i}} \right)'} = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{q^i}} } \right)'\]
也就是算一下 \[\left[ {\frac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}} \right]'\] 即可。
找了好久，終於找到當時我記的地方了……
