註意到 \sum\limits_{i=m}^{[\frac{n}{2}]}C_{i}^{m}C_{n}^{2i} 是 (\sum\limits_{i=m}^{\infty}C_{i}^{m}x^{2i})\times(\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i)=\frac{x^{2m}}{(1-x^2)^{m+1}}\times(1+x)^n 的 x^n 項的系數。
於是只需求 \frac{(1+x)^n}{(1-x^2)^{m+1}}=\frac{(1+x)^{n-m-1}}{(1-x)^{m+1}} 的 x^{n-2m} 項系數，
而 \frac{(1+x)^{n-m-1}}{(1-x)^{m+1}}=\frac{\sum\limits_{j=0}^{n-m-1}C_{n-m-1}^{j}(1-x)^j(2x)^{n-m-1-j}}{(1-x)^{m+1}}
當 j\geq m+1 時， \frac{(1-x)^j(2x)^{n-m-1-j}}{(1-x)^{m+1}} 是多項式，其次數為 n-2m-2 ,不可能有x^{n-2m} 項。
當 j\leq m-2 時， (2x)^{n-m-1-j} 為次數至少有 n-2m+1 的單項式， 因此，此時\frac{(1-x)^j(2x)^{n-m-1-j}}{(1-x)^{m+1}} 不可能有x^{n-2m} 項。
所以只需考慮 j 取 m,m-1 時的情況，也就是只需求
\frac{C_{n-m-1}^{m}(2x)^{n-2m-1}}{1-x}+\frac{C_{n-m-1}^{m-1}(2x)^{n-2m}}{(1-x)^2} 的 x^{n-2m} 項系數
它等於 C_{n-m-1}^{m}2^{n-2m-1}+C_{n-m-1}^{m-1}2^{n-2m}
=2^{n-2m-1}(\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m-1)!}+\frac{2(n-m-1)!}{(m-1)!(n-2m)!})
=2^{n-2m-1}\frac{(n-m-1)!}{(m-1)!(n-2m-1)!}(\frac{1}{m}+\frac{2}{n-2m})
=2^{n-2m-1}\frac{(n-m-1)!}{(m-1)!(n-2m-1)!}\times\frac{n}{m(n-2m)}
=2^{n-2m-1}\frac{(n-m)!}{m!(n-2m)!}\times\frac{n}{n-m}
即為所求。
