閉區間的是積分中值定理的直接結論。開區間的可以用拉格朗日中值定理加上導函數的唯一性證明。
若 f\left( x \right) 在開區間 \left(a,b \right) 連續且積分存在。定義 F\left( x \right)=\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt ，則有 F'\left( x \right)=f\left( x \right) ，滿足拉格朗日中值定理的條件（積分在閉區間上一定連續，導函數由前提條件，在開區間連續）。由拉格朗日中值定理得 F\left( b \right)-F\left( a \right)=F'\left( \xi \right)\left( b-a \right),\xi\in\left( a,b \right) ，即
F\left( b \right)-F\left( a \right)=\int_{a}^{b}f\left( t \right)dt-\int_{a}^{a}f\left( t \right)dt=\int_{a}^{b}f\left( t \right)dt=F'\left( \xi \right)\left( b-a \right)=f\left( \xi \right)\left( b-a \right),\xi\in\left( a,b \right)
