Kalman滤波器，观测器都会导致phase shift吗？

2017-03-13数码

#3月13日晚更新。

这个问题下的答案再次体现的控制领域内理论和实践的分歧。我以一个中立的角度，尝试让两边的人尽量理解对方的想法。

开始讨论前，先假定几个前提：

暂且讨论连续LTI系统；
考虑伦贝格形式的Kalman滤波器/观测器；
考察的是正弦输入时的稳态下，观测器估计输出值相对于系统实际输出值的相位延迟；
理想情况指的是无模型误差、无噪声、无纯时滞环节。

先放结论：同意 @李崇 等的观点，以上前提及理想情况下，对于任何正弦输入频率，不存在相位延迟。

大家想当然地认为相位延迟存在，是因为工程上的相位延迟是经常能够观察到的。所以，我先反过来解释一下为什么@REX.X的回答是正确的。考虑如下的状态方程形式的系统：

\begin{align*} \dot{x} & =Ax+Bu\\ y & =Cx \end{align*}

以及Kalman观测器：

\begin{align*} \dot{\hat{x}} & =A_{0}\hat{x}+B_{0}u+L\left(y+n-C_{0}\hat{x}\right)\\ \hat{y} & =C_{0}\hat{x} \end{align*}

其中A,B,C 是系统参数的真实值，而A_0,B_0,C_0 是不一定准确的名义值，以及n 是噪声。那么@REX同学的论点是，倘若既没有噪声，也没有模型误差，即n=0 且名义值等于真实值的话，最终\hat{y} 将趋近于y ，因此不存在相位延迟。这一点其实非常好证明，很简单，定义\tilde{x}=\hat{x}-x 、\tilde{y}=\hat{y}-y ，然后拿下式减去上式即可得到

\begin{align*} \dot{\tilde{x}} & =\left(A-LC\right)\tilde{x}\\ \tilde{y} & =C\tilde{y} \end{align*}

在满足detectability和合适的选取L 的情况下，无论初始的观测误差有多大，这个误差都会收敛到零。既然\hat{y}=y ，那么相位延迟什么的就无从谈起了。

那为什么工程上一般都观察到了相位延迟呢？我想原因无外乎以下几点：

工程上不存在没有误差的模型；
工程上不存在没有噪声的传感器；
工程上控制器大多用离散系统实现，因此多多少少存在些许传输延迟。

个人认为，第三点对于相位延迟的贡献显而易见，第二点我认为并不影响，第一点应该可以通过理论证明。 对于第一点，可以从如下的角度去思考 @小小天涯：

定义u\rightarrow y 的传函为G(s) ，然后把系统和观测器整体当做一个系统，它的传函u\rightarrow \hat{y} 的传函为\hat{G}(s) 。想知道\hat{y} 相对于y 的幅度/相位差？ 那直接求 \[ \frac{\hat{y}\left(s\right)}{y\left(s\right)}=\frac{\hat{G}\left(s\right)u\left(s\right)}{G\left(s\right)u\left(s\right)}=\frac{\hat{G}\left(s\right)}{G\left(s\right)} \] 的伯德图不就行了 ？

我非常肯定有现成的文献讨论这一点（求文献），但是因为我懒，所以我就只举了个例子做了个仿真验证一下。系统为

% stable plant A=[0 1;-1 -1];B=[0;1];C=[1 0]; % plant model e_perc=0; % error percentage A_hat=A*(1-e_perc);B_hat=B*(1-e_perc);C_hat=C*(1-e_perc); noise_var=0.00; % noise variance % observer and tracking controller design L=lqr(A_hat',C_hat',eye(2),1)'; K=lqr(A_hat,B_hat,eye(2),1);

可以验证，当输入频率为1 rad/s时，如果e_perc=0，最终的相位差为0；如果e_perc=0.2，最终的相位差为约为-17.1483°。另一方面

G=tf(ss(A,B,C,0)) G_hat=tf(ss([A zeros(2);L*C A_hat-L*C_hat],[B;B_hat],[zeros(1,2),C_hat],0)) minreal(G_hat/G)

量出来相位差约为-17.2°。验证了这个方法的可靠性。

至于噪声带来的影响，因为\frac{y(s)}{n(s)} 的传函并不存在，所以我认为它并不会带来相位差（@李崇，欢迎讨论）。