高中的时候老师提到过一次，我就真的跑去硬算了一遍……结果如下：
设 \[{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\] ， \[{b_n} = {b_1}\cdot{q^{n - 1}}\]
最后算出： \[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n}\]
\[ = \left[ {\frac{{{b_1}d}}{{q - 1}} \cdot n + \frac{{\left( {{a_1} - {a_1}q - 1} \right) \cdot {b_1}d}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}}} \right]{q^n} - \frac{{\left( {{a_1} - {a_1}q - 1} \right) \cdot {b_1}d}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}}\]
就……算出以后感觉挺意外的，真的可以把它写成 \[\left( {An + B} \right){q^n} - B\] 的形式。
还记得当时上课的时候老师绘声绘色的教我们怎么伪装，先在试卷上写上：
设： \[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n} \ \ ① \ \ \]
则： \[q{S_n} = {a_1} \cdot {b_2} + {a_2} \cdot {b_3} + \cdots + {a_n} \cdot {b_{n + 1}} \ \ ② \ \ \]
接着在草稿纸上迅速的算出 \[{S_1}\] ， \[{S_2}\] ，并由此解出 \[\left( {An + B} \right){q^n} - B\] 中的 A、B （就是一个非常简单的二元一次方程）。
然后在试卷上写道：由 ① \ \ 式减 ② \ \ 式，化简可得： \[{S_n}= \cdots \]
毕竟老师不是很相信大部分学生的计算水平，这个方法确实简单易懂，且出错率低，在高中阶段是可取的。
后来上了大学，无意间发现了一种新的计算等差乘等比数列求和的方法，在这写一下，希望对读者有所帮助。
一样的，还是设 \[{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\] ， \[{b_n} = {b_1}\cdot{q^{n - 1}}\]
\[{S_n} = {a_1} \cdot {b_1} + {a_2} \cdot {b_2} + \cdots + {a_n} \cdot {b_n}\]
\[ = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\left( {{a_1} - d} \right) + d \cdot i} \right] \cdot {b_1}{q^{i - 1}}} \]
\[ = {b_1}\left( {{a_1} - d} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{q^{i - 1}}} + d{b_1}\sum\limits_{i = 1}^n {i\cdot{q^{i - 1}}} \]
该等式的前面就是一个简单的等比数列求和，我们来看后面的那个 \[\sum\limits_{i = 1}^n {i \cdot {q^{i - 1}}} \]
在这里，我要求读者们把思维转变一下，将 \[{i \cdot {q^{i - 1}}}\] 看成 \[\left( {{q^i}} \right)'\]
这样就会有： \[\sum\limits_{i = 1}^n {i \cdot {q^{i - 1}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{q^i}} \right)'} = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{q^i}} } \right)'\]
也就是算一下 \[\left[ {\frac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}} \right]'\] 即可。
找了好久，终于找到当时我记的地方了……
