事实上，可借助于三矢量叉积公式
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})
如果是物理，比如电动力学遇到这种，上面的公式非常实用。具体如下：
\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=\nabla_A\times(\vec{A}\times\vec{B})+\nabla_B\times(\vec{A}\times\vec{B})
因为微分算符要么作用在A，要么作用在B，这里用下标AB区分。
进一步化简得到：
\nabla_A\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot \vec{A})
注意 \nabla_A 只能作用在A上，因此 \vec{A}(\vec{B}\cdot \nabla_A) 最后变成 (\vec{B}\cdot \nabla)\vec{A} ,这里微分只可能作用在A上了，因此去掉下标。
同理对 \nabla_B 进行同样处理，最后得到
\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot\vec{A})+\vec{A}(\nabla\cdot\vec{B})-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}
以下从数学上进行讨论。
事实上借助高等数学知识即可，但是如果借助张量运算则更为简单。先回归下高数知识。
设两向量场为 \vec{A}=a_i\mathbf{e}_i, \quad \vec{B}=b_j\mathbf{e}_j ,则其叉乘结果可形式化表示为
\vec{A}\times\vec{B}=\left |\begin{array}{cccc} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right | = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{e}_1+(a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{e}_2+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e}_3
同时对矢量的旋度可表示为
\nabla\times \vec{A}=\left |\begin{array}{cccc} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ \frac{\partial}{\partial r_1} & \frac{\partial}{\partial r_2} &\frac{\partial}{\partial r_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{array}\right |
这里未使用一般高数教材的表示( i, j, k, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} )，而是使用了下标的方式，目的是为了之后的张量计算。将下标 1, 2, 3 替换为 i, j, k ， r_1, r_2, r_3 替换为 x, y, z 即可得到与一般高数教材一致的结果。但回答的重点不在于仅仅使用高数知识进行推导，因为整合两步计算可能略显复杂。因此以下用张量运算进行重新计算。
借助上面向量场的表示，则叉乘可简单表述为
\vec{A}\times \vec{B}=(a_i\mathbf{e}_i)\times(b_j\mathbf{e}_j)=\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k
其中 \epsilon_{ijk} 为全反对称张量，也有称作Eddington张量
旋度计算可类似表述为
\nabla\times \vec{A}=(\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial r_i})\times(a_j\mathbf{e}_j)=\epsilon_{ijk}\frac{\partial a_j}{\partial r_i}\mathbf{e}_k
则得到以下结果
\begin{align}\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})&=\nabla\times(\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k)=(\mathbf{e}_l\frac{\partial}{\partial r_l})\times(\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k) \\ &= \epsilon_{lkr}\frac{\partial(\epsilon_{ijk}a_ib_j)}{\partial r_l}\mathbf{e}_r \\ &=\epsilon_{lkr}\epsilon_{ijk}\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_l}\mathbf{e}_r \end{align}
对Eddington张量，有结果 \epsilon_{pqk}\epsilon_{ijk}=(\delta_{pi}\delta_{qj}-\delta_{pj}\delta_{qi}) ，其中 \delta_{ij} 为Kronecker符号，即 \delta_{ij}=0(i\neq j), \ \delta_{ii}=1
于是上式可化简为
\begin{align}(\delta_{ri}\delta_{lj}-\delta_{rj}\delta_{li})\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_l}\mathbf{e}_r &= \frac{\partial a_ib_j}{\partial r_j}\mathbf{e}_i-\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_i}\mathbf{e}_j \\ &=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i \end{align}
即 \nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i ，比如计算下 \mathbf{e}_1(i=1) 分量为
\frac{\partial(a_1b_j-a_jb_1)}{\partial r_j}=\frac{\partial(a_1b_2-a_2b_1)}{\partial r_2}+\frac{\partial(a_1b_3-a_3b_1)}{\partial r_3} ，这与高数得到的结果一致。
再进一步，借用分部微分将结果化简
\begin{align} \nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})&=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i \\ &=a_i\mathbf{e}_i(\frac{\partial b_j}{\partial r_j})+(b_j\frac{\partial}{\partial r_j})(a_i\mathbf{e}_i)-b_i\mathbf{e}_i(\frac{\partial a_j}{\partial r_j})-(a_j\frac{\partial}{\partial r_j})(b_i\mathbf{e}_i) \\ &= \vec{A}(\nabla\cdot\vec{B})+(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot \vec{A})-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} \end{align}
这就证明了上面的公式
