通过围道积分的方法可以证明：
若用π(x)表示不超过x的素数个数、 \Theta 表示zeta函数零点实部的上确界，则存在与 \Theta 无关的固定正常数K使得对于足够大的x均有\left|\pi(x)-\int_2^x{\mathrm dt\over\ln t}\right|\le K x^\Theta\ln x
我们希望误差越小越好，而由于zeta函数的零点关于实部为1/2的直线对称，所以 \Theta\ge1/2 。而当 \Theta=1/2 时我们就得到了此时最优的上界：
若黎曼猜想为真，则对于足够大的x均有\left|\pi(x)-\int_2^x{\mathrm dt\over\ln t}\right|\le K\sqrt x\ln x
