涉及到一个微分方程基本定理，在这里我们用到的部分可以这么描述：如果y满足一个n阶线性齐次微分方程，则根据任意的 y(0), y'(0), y''(0),...,y^{(n-1)'} (0) ，可以唯一确定一个微分方程的解。它的严格证明比较麻烦，但可以简单理解一下：假定存在两个解y1和y2，考虑y1-y2，则它也是方程的解，而且各阶导数都为0，按方程它的n阶导数也为0，按导数推演这应该是一个恒为0的函数（这里其实需要严格证明，但思路是这样），那么应该有y1 - y2 = 0，因此解是唯一的。
这意味着只要给定一个n阶向量，就可以唯一确定一个解；反过来，任意一个解也都可以对应到一个n阶向量。这意味着解空间（显然是一个线性空间）维数不超过n。
接下来就是存在性的问题，这个应该所有的微分方程数上都介绍过特征根法，就不再详细介绍了。
n阶线性齐次微分方程，实际上是n阶线性齐次微分方程组的一个特例，通常方程组可以写作
\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x} = Ay
其中y是一个n阶函数构成的向量，而A是n * n的矩阵。显然对于n阶线性齐次微分方程来说，只需要令
y = (y_0, y_0', y_0'', ..., y_0^{(n-1)'}) 就可以改写为线性方程组的形式，A的最后一行是原方程的系数，上面的每行则只有一个1，在对应位置上。
对于n阶线性齐次微分方程组来说有类似的基本定理，即 y(0) （这是一个n阶向量）可以唯一确定y。因此，任意n阶线性齐次微分方程组实际上都有n个线性无关的特解，而n阶方程只是一个特例。
特解同样可以通过特征根法求（令 y = C \exp(\lambda x) ，C是一个向量，转化为求矩阵特征值的问题）
也可以用拉普拉斯变换简单粗暴得到这个结论：
L(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}) = L(Ay)
s Y - y(0) = AY
(sI-A)Y = y(0)
Y = (sI-A)^{-1}y(0)
所谓特征根，在拉普拉斯变换下，其实是满足
sY = AY 的Y，不难看出，这实际上就是求矩阵特征值和特征向量，特征值是 \det(sI - A) = 0 的根，对于根 s_k ，如果特征向量是 \mu ，则 A = \mu \delta(s-s_k) 正好就是一个解（因为在 s=s_k 时因为特征向量的特性符合方程，在 s \ne s_k 时因为 A=0 符合方程）。
我们可以看到线性代数和线性微分方程组理论之间有密不可分的关系，也更容易理解为什么线性微分方程组里的特征值和线性代数里的特征值是同一个名字了吧。
总结来说：
- 线性微分方程（组）的解可以由初值唯一确定（存在且唯一）
- n阶线性微分方程（组）的初值是n维的
- 因此，解空间也是n维的
或者用线性代数语言描述：
- 线性微分方程（组）的解和初值都构成线性空间
- 线性微分方程（组）的解和初值之间形成一个可逆的线性映射
- n阶线性微分方程（组）的初值是n维线性空间
- 因此，解空间也是n维的
