这不是外测度的单调性，这是数学分析的极限保号性。
\bigcap_{j=1}^{\infty }E_j=(E_1\cap E_2\cap\cdots)\subseteq E_1
\bigcap_{j=2}^{\infty }E_j=(E_2\cap E_3\cap\cdots)\subseteq E_2
\bigcap_{j=3}^{\infty }E_j=(E_3\cap E_4\cap\cdots)\subseteq E_3
以此类推，那我把括号里面的集合用新符号来记，即 S_k=\bigcap_{j=k}^{\infty }E_j=(E_k\cap E_{k+1}\cap\cdots) ，就有 S_k\subseteq E_k ，并且每个 S_k 都可测。
于是根据测度的单调性， m(S_k)\leq m(E_k) 。
为了方便书写，令 a_k=m(S_k),b_k=m(E_k) ，则 a_k\leq b_k 。
又因为 \left\{S_k \right\} 是递增的可测集合列，所以 \left\{ a_k \right\} 单调递增。
根据可测集的性质， m(\lim_{k \rightarrow \infty}{S_k})=\lim_{k \rightarrow \infty}{m(S_k)}=\lim_{k \rightarrow \infty}{a_k} 。
分类讨论，如果存在某个自然数 K 使得 m(S_{K})=a_{K}=+\infty ，则等号右边为 +\infty 。
根据 a_k\leq b_k 及数列 \left\{ a_k \right\} 的单增性，当 k>K 时， a_k=+\infty ，因此 b_k=+\infty 。从而 k>K 时 \left\{ b_k \right\} 成为常数列，因此 \lim_{k \rightarrow \infty}{b_k}=+\infty=\underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}b_k 。
※这是数学分析中数列收敛的充要条件：
所以 \lim_{k \rightarrow \infty}{a_k}=\underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}b_k
如果对于任意正整数 k ，都有 a_k<+\infty ，但 \left\{ a_k \right\} 是无界数列，则根据单调性， \left\{ a_k \right\} 发散至 +\infty 。从而根据 a_k\leq b_k 可知 \left\{ b_k \right\} 也发散至 +\infty ，这种情况和上一种相同。
如果对于任意正整数 k ，都有 a_k<+\infty ，但 \left\{ a_k \right\} 是有界数列，则根据单调有界定理， \left\{ a_k \right\} 收敛。
根据定理：
取 x_n=a_n,y_n=b_n-a_n\geq0 ，就有 \underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}b_k=\lim_{k \rightarrow \infty}{a_k}+\underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}y_k 。
但 y_k\geq0 ，它的每个子列也都非负，从而每个子列的极限非负。根据下极限的定义， \underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}y_k\geq0 。这样就有 \underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}b_k\geq\lim_{k \rightarrow \infty}{a_k} 。
综上， \lim_{k \rightarrow \infty}{a_k}\leq\underline{\lim _{k\rightarrow \infty }}b_k 成立。
