这本书在代数几何学界里是很有名的, 到2015/5/15 为止, 在 MathSciNet 上它被引用了 285 次.
Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, and Kuang-yen Shih, Hodge cycles, motives, and Shimura varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. MR 654325 (84m:14046)
SGA 4.5 则有 454的引用.
Pierre Deligne, Cohomologie étale, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569, Springer-Verlag, Berlin- New York, 1977, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2, Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J. L. Verdier. MR 0463174 (57 #3132)
至于 BBD, 到15-05-15为止, 被引用了 624 次.
A. A. Beilinson, J. Bernstein, and P. Deligne, Faisceaux pervers, Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Ast ́erisque, vol. 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, pp. 5–171. MR 751966 (86g:32015)
Grothendieck 对这3本书是什么态度呢? 在给 Mumford 的信里, 他说
But let me get back to cases of outright fraud and ruthless cynicism, asexemplified by the remarkable volume LN 900 on motives (one of the most
cited books in the literature), or by the very
name 「SGA41/2」 (same remark),
or, more shameless than all, the Colloque Pervers (same remark again for
the Proceedings of the Colloquium, in two volumes, published in Astérisque).
The fraud in these cases is evident and glaringly clear to all those who are
in touch with the topics dealt with—in the third case, it should add up to
at least fifty world-wide known specialists, including such 「stars」 as Deligne,
MacPherson, Beilinson, Malgrange, Verdier, and many others. Here it is not
some well-known 「ancestor」, who used to be in a position of power himself but
who isn’t around any more, who is being plundered—or, if he is indeed, this
isn’t really the crux of the matter. The whole Colloquium (exhibiting for the
first time a substantial portion of the panoply of the unnamed ancestor...)
took place through the solitary and obstinate work of an unknown pioneer,
who (drawing inspiration from the ancestor) succeeded to do the work that
Deligne had been unable to conceive of and to do, ten years before. Through
the connivance of the participants in this Colloquium this 「unknown soldier」,
who did the work which none of these brilliant people had ever dreamed of,
isn’t named at all in the first volume of the Proceedings, and in the second
only quite incidentally and never with reference to the main result which was
the very spring of the Colloquium. I said enough about this affair in ReS, so
that I need not dwell upon any more details.
他是有多么的愤怒和伤心啊.
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2014. 11. 13. 他永远离开了我们
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写了这么多的内容, 我发现越往后越不能避免技术上的讨论. 从而也使得这篇回答越来越不能符合科普文的性质. 毕竟, Grothendieck的数学不是那么容易就被消化理解的, 哪怕是在肤浅的层面上.
再加上我自己所知非常有限, 我恐怕这个答案将不会对太多人有用.
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A. Grothendieck是一个改变了当代数学面貌的人.
( 一 )
如果你去MathReview上看 Grothendieck 的论文引用次数, 你会(惊奇地)发现被引用最多的是 ---
MR0075539(17,763c)
Reviewed Grothendieck, Alexandre
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires.
(French)
Mem. Amer. Math. Soc.
1955
(1955), no. 16, 140 pp.
46.1X
"核空间与拓扑张量积"
这个是Grothendieck的博士论文. 这篇论文的Review的第一句话是
Le grand nombre de résultats importants contenus dans ce mémoire (Thèse), rend difficile d'en mettre en évidence les lignes essentielles, même si l'on a recours au résumé des résultats publié auparavant.英文 (google) 翻译:
The large number of important results contained in this thesis (PhD), making it difficult to highlight the essential lines, even if it uses the previously published summary of the results.如果你学过W.Rudin的"泛函分析", 你会发现其实Grothendieck的泛函分析的定理是可以被写入教科书的. 我并不懂泛函分析, 况且400+的引用率在分析业界并不可观. 还请其它分析行家补充.
( 二 )
50年代中叶之后, A. Grothendieck的兴趣逐渐从泛函分析偏移到了更加代数的范畴中. 比如, 他证明了黎曼球面上的全纯向量丛分裂成线丛的直和.
MR0087176(19,315b)
Reviewed Grothendieck, A.
Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann.
(French)
Amer. J. Math.
79
(1957), 121–138.
53.3X
现在, 这个定理的证明已经颇为标准, 可以在标准的代数几何入门书上找到. 然而, 高亏格黎曼曲面上的向量丛的研究则复杂很多. 这时(稳定)向量丛的等价类会"连续变化", 因此出现了"模空间", 关于模空间的拓扑, Narasimhan-Seshadri, Atiyah-Bott等有非常深入的工作. 前者运用了算术中得Weil猜测; 后者则来自杨振宁-Mills理论的启示.
在堪萨斯大学的时候他发表了著名的"Tôhoku",
MR0102537(21 #1328) Reviewed
Grothendieck, Alexander
Sur quelques points d'algèbre homologique. (French)
Tôhoku Math. J. (2) 9 1957 119–221.
18.00
D. Buchsbaum的Review的第一句话如下.
The formal analogy between the cohomology theory of a space with coefficients in a sheaf, and the derived functors of functors of modules has been apparent for some time. The author has here developed the necessary framework to encompass these (as well as other) theories.也许现在所有的入门同调代数书介绍导出函子时, 最先采取的讲法都是依据 Tôhoku. 这与几十年前同调代数只有唯一"圣经"(Cartan-Eilenberg)的情形已经截然不同了. 如果稍微读一下 Grothendieck的这篇文章, 就会发现其中很多技术可以意想不到地应用到很多其它数学的角落. Grothendieck 在这篇文章里系统地介绍了如何在相当一般的情形下应用谱序列计算复合导出函子. 诸君所熟悉的大多谱序列 (Leray, Local-to-Global, Hochschild-Serre,...) 皆是 Grothendieck 谱序列的特殊化. 后来, 同调代数在 Grothendieck 的博士生 J.-L. Verdier 的工作下继续发展, 产生了导出范畴, 三角范畴等近代数学概念; 这些研究引发了(Poincaré, Serre) 对偶定理的大幅度推广. 可惜 Verdier 先生和他的太太不幸在车祸中丧生, 令人无限惋惜.
Grothendieck 的对偶理论是在 Scheme 理论发展之后逐渐成型的. 早期关于这个理论的唯一参考文献是 R. Hartshorne 的 "Residue and Duality". Grothendieck 的看法是先 build up 局部对偶, 然后发展整体理论. 但是导出范畴的概念基本是整体的, 所以从局部到整体的过程颇为复杂, 令人不悦. 此外, 由于导出函子的计算需要 "injective resolution", 人们只能局限在 bounded derived category. 随着20世纪后半叶的数学发展, 特别是代数拓扑学与抽象同伦论的发展, 人们渐渐意识到 unbounded derived category 具有更佳性质. 经过一系列的观察和积累, 在1996年由 A. Neeman 写下了下面的文章,
MR1308405(96c:18006)
Reviewed Neeman, Amnon(1-VA)
The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability.
J. Amer. Math. Soc.
9 (1996), no. 1, 205–236.
18E30 (14F05)
( 三 )
A. Grothendieck 在 50 年代证明了 Riemann-Roch定理的巨大推广. 由A. Borel 和 J.-P. Serre 写下并发表.
MR0116022(22 #6817)
Reviewed Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre
Le théorème de Riemann-Roch.
(French)
Bull. Soc. Math. France
86
1958 97–136.
14.00
如大家所常听闻的老生常谈所说的一致, Grothendieck认为这个定理是关于"映射"的, 而非"代数簇"的. 将定理陈述为关于映射的给证明增添了很大的flexibility. 这个定理的证明可以分成两部分, 一部分是关于"regular embedding"的; 另一部分是关于投影空间的. 后一部分证明极为普通; 而关于regular embedding的部分则略微复杂. 问题在于Grothendieck于1958年并未获得Chow theory的良好信息. 实际上, Grothendieck在证明中所用的Chow理论, 乃是K-理论的关于余维数的分次环. 这个定义给计算Blow-up的Chow理论带来了很大的不便. 后来, W. Fulton和R. MacPherson发展了相交理论, 运用"deformation to the normal cone"的方法, 彻底简化了Borel-Serre文中的证明.
Grothendieck 的 Riemann-Roch 定理包括了著名的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式. 如果运用Fulton-MacPherson理论, 则其证明简洁优雅, 极为动人 (可参见W. Fulton的"interp theory"第16章). Grothendieck 的 Riemann-Roch 公式在后世有了极大的应用. 一个例子就是 D. Mumford和J. Harris运用Grothendieck-Riemann-Roch加上Brill-Noether理论成功地计算了曲线模空间的canonical divisor class. 通过计算, 他们得出了当亏格 >= 24 (感谢 Fu Hei 指正) 时, 曲线的模空间是general type variety. 这是模空间双有理几何的开山之作.
作为Borel-Serre文章的附录, Grothendieck 给出了一个定义陈省身示性类的方法.
MR0116023(22 #6818)
Reviewed Grothendieck, Alexander
La théorie des classes de Chern.
(French)
Bull. Soc. Math. France
86
1958 137–154.
14.00
实际上, Grothendieck 注意到了向量丛的投影配丛的上同调可以通过 Leray-Hirsch 定理表达为底空间的上同调加上 relative O(1) 的欧拉类的方幂; 欧拉类所满足的关系的系数恰好是陈类. 这个定义方式颇有影响, 还常常被代数拓扑入门读物采纳, 如 R. Bott和L. Tu的 "Differential forms in algebraic topology".
(四)
Scheme, 中文翻译为概形, 是 Grothendieck 用来推广代数簇的几何对象. 代数簇, 众所周知, 是投影空间中齐次多项式的零点. Scheme, 不只记住了点集, 还记住了定义这点集的多项式. Scheme的基本理论被记录在了未完成的 EGA 中.
与广大群众所熟知的论调相反, scheme 并非高度抽象的理论. 相反, 它十分具体, 并且能够生动地反映出代数簇所不能反映出的特质.
通过系统地使用scheme的语言, Grothendieck 构造了所谓的 "Hilbert scheme". 大量古代代数几何中的模糊的陈述, 通过Hilbert scheme, 可以精确地陈述. 比如, F. Severi 的 residual (?我忘了这个名词是什么了, 就是 surface 上 curve 的 normal bundle 的 complete linear system) system 维数猜测, 通过 Hilbert scheme 和 Picard scheme, 在特征 0 得到了代数证明; 不只如此, 在特征 p 时, 我们也知道为何猜测是错的 (Picard scheme nonreduced).
通过把曲线表示为 pluricanonical embedding的Hilbert point, D. Mumford 的几何不变量得以构造模空间; 目前为止, 这已经成为构造模空间的标准方法. （请注意, 芒福德的「几何不变量」 一书并非应用几何不变量这一手段构造曲线模空间。）
Grothendieck 发展了 Kodaira-Spencer 的变形理论, 发展了阻碍理论. 这些由他的博士生 L. Illusie 系统化, 写成了博士论文 "cotangent complex, I and II". 这些理论成为当代数学中重要的工具. 比如, 最幼稚地应用变形理论和阻碍理论, 可以对某个几何对象一切可能的变形的空间的维数进行估计. Grothendieck 还证明了重要的 "Grothendieck 存在定理", 说明何时 "formal deformation" 可以扩张为"代数变形", 即来自于几何的变形.
Grothendieck 的 scheme 理论还联系了几何与算术. 通过标准的"spread out"技术(取出多项式系数, 生成一个有限生成Z-代数), 可以将一个复代数簇约化到有限域. 有时, 这种技巧可以极大地简化问题, 甚至导致超越技术难以证明的定理. 一个极好的例子是森重文对"Hartshorne 猜测"的证明. 通过应用特征p的Frobenius endomorphism, 森得以控制变形空间的维数; 然后应用"bend-and-break"以产生有理曲线. 一个更为生动的例子是Grothendieck对 Ax 定理的证明. 前述的 Narasimhan-Seshadri 的工作, 其实就是将模空间约化到特征p, 然后应用Weil猜测来计算上同调. 这一切都是 Grothendieck 之前的时代的技术所不能达到的.
我只是简单地举了几个例子来彰显scheme的重要, 但她业已经成为标准的语言. 故而大多的当代代数几何论文都可视为scheme理论的应用.
( 五 )
Grothendieck 发展了拓扑的概念. 现在称之为Grothendieck topology或者site. 这部分数学被记录在SGA4中. Grothendieck 认为, 拓扑学中的一个空间的开覆盖的概念可以推广 --- 比如, 在scheme X的 (small) étale topology中, 一个开集是指一个étale map U --> X. 而一个开覆盖则是一堆étale maps U_i --> X; 它们的像的并是X. 众所周知, Zariski topology非常粗(coarse), 使用étale拓扑则可以增添相当的flexibility. 更为重要的是, 对一个site, 可以定义site上的sheaf, 这构成一个abelian 范畴, 可以讨论这些sheaf的上同调, 等等.
Grothendieck 意识到 site 的性质很大程度上决定于其上所承载的"束(sheaf, 误译为'层', 颇令人不解)". 也许, sheaf的范畴是更本源的几何对象. 一个范畴, 如果等价于一个site上的sheaves的范畴, 那么这个范畴叫做一个Grothendieck topos.
通过定义不同特性的 sites / topoi, 可以导出代数簇的各种有趣的上同调理论. 比如晶体上同调是晶体拓扑斯的结构束的上同调; proper variety 的刚性上同调可以实现为 Ogus 的 "收敛拓扑斯" 的某个束 K 的上同调; 最近 Le Stum 定义了过收敛拓扑斯, 这个可以一致地处理非紧的 variety 的刚性上同调.
(六)
安德烈 • 威毅 (André Weil) 猜测代数簇的拓扑性质和其算术性质有着紧密地联系. 比如, 通过计算一个光滑投影代数簇在有限域约化的点得个数, 我们可以计算其贝蒂数. 而上同调的 彭加勒对偶 则体现在了point-counting 的 Zeta 函数的函数方程中. 最深刻的是 Riemann hypothesis 的类似, 它预言了 Zeta 函数的零点和极点的模长如何. Weil 大概意识到了这些猜测的一部分是某种"好"上同调理论的推论. 但是构做上同调理论这一大业却是在 SGA 4 中实现的.
挠系数的 平展 (Étale) 上同调可以准确地反映代数簇的"正确"拓扑性质. 在复数域上, Z/l系数的 étale 上同调和相应系数的奇异上同调是同构的. 然而, 要实现 Weil 猜测的有理性和函数方程的证明, 我们需要一个系数取值在特征 0 域的上同调理论 (从而得到准确的莱夫谢茨固定点公式). 今可对 H^*(X,Z/l^nZ) 取逆向极限, 便得到平展 l-进上同调群. 若将上同调系数扩张至 l-进有理数域 Q_l 或者其代数闭包 , 就得到了取值在特征0的"好"上同调理论; Weil 猜测中的 有理性 和 函数方程 迎刃而解 (略早于Artin-Grothendieck, 这两个猜测已经被 Dwrok 用 p-adic 的方法解决了, 德沃克先生的 p 进方法在后世产生了巨大影响，导致了当代数学诸多革命性地发现，然而由于与主题无关，在此按下不表).
黎曼猜测是被 Grothendieck 的博士生 P. Deligne 解决的. Deligne 对 l-adic cohomology 的深入研究导致了一系列重要进展. 在80年代, 德利涅继承自 Grothendieck 的 「威权理论」 (theory of weights) 受到 D-模理论, 高睿天-麦福森「相交同调」的影响, 达到高潮. 产生了Bernstein-Beilinson-Deligne-Gabber的「分解定理」. 此外, 作为他研究的衍生物 (或者 theory of weight 在特征0的类似物), Deligne 在其第二篇博士论文中引入了 混合 Hodge 结构 (Mixed Hodge structure), 并且证明了一系列关于代数簇拓扑的惊人结果. 可惜, Deligne 的文章 Weil II 和 Hodge II, III 并不易读 （然而，需要补充的是，Grothendieck 学派的文章虽然不易，却都组织得非常好，即俗语所谓「写得很好」）.
然而, 对于不同的 l, 我们有不同的 l-adic 上同调. 这么多上同调理论都是一回事吗? 这就诱发了"yoga of motives".
( 七)
如上所说, 你给一个素数 l, Grothendieck 教给你一个"好"上同调. 这些上同调似乎是"一样"的, 但是却明明有不同的系数. Grothendieck认为这些上同调理论应该有公共的发源. 他把这个发源称为"motif", 而这一切的上同调理论都是motive的不同实现方式而已.
代数簇, 相对于复解析空间或者复流形, 一个重大的特点是它具有大量的子空间. 对一个光滑投影代数簇X, 整数m, 定义Z_m(X)为由X的m-维不可约子簇生成的自由abel群. Z_m(X)中元素称为"algebraic cycle". 在Z_m(X)上存在一系列等价关系, 诸如有理等价, 代数等价, 数值等价. 为了简单起见, 我们只谈数值等价. 两个Z_m(X)中的algebraic cycle a 和 b 称为数值等价, 如果对任何dim X - m维的X的不可约代数子簇V, 有a.[V] = b.[V], 其中"."指代相交数. 相交数的严格定义颇为复杂, 我们不予讨论. 但其直观意义却相当明显, 即计算两个子簇相交的点的个数.
令 A^n(X) = A_\text{num}^n(X) 为 商群 Z_{\dim X - n} (X) /\text{num. eq} .
设 X, Y, Z 为三个光滑投影代数簇. \alpha\in A^\ell (X\times Y) , \beta\in A^m(Y\times Z) 分别为 X x Y 和 Y x Z 上的cycle classes. 我们可以定义复合 \alpha\circ\beta \in A^{\ell + m -\dim Y}(X\times Z) . 一个元素p \in A^{\dim X}(X\times X) 称为projector, 如果 p \circ p = p .
对域k, 今定义范畴Mot_k如下, 其objects为pairs
(X,p)
, 其中X是光滑投影代数簇, p为X上的projector. 定义两个对象之间的arrow为
\mathrm{Mot}((X,p),(Y,q)) = p \circ \bigoplus_\ell A^\ell(X\times Y)\circ q
Grothendieck 猜测, 这个范畴应该是导出一切上同调理论的终极上同调.
如果域k是特征0, U. Jannsen 证明了这个范畴是 semisimple abelian 的.
Motive的理论或多或少还停留在猜测阶段. 原因是 motive本身的很多性质都还没有得到证明. Grothendieck 自己提出了关于 motive 的标准猜测; 包括数值等价与同调等价的一致性。这些猜测远未被解决.
Motive 的各种实现, 另一方面, 则在代数几何中产生了巨大的影响. 如果假设著名的 Hodge 猜测, 那么在complex number上, motive 的范畴嵌入(fully and faithfully)到了所谓"pure Hodge structure"的范畴里. 一种在几何上实现 pure Hodge structure 的方法是使用复投影流形上奇异上同调的 Hodge 分解. 对 Hodge 结构的研究产生了许多美妙的定理. 这方面的始作俑者是 P. Griffiths 和他的学派. 格里菲斯是一个非常 original 的数学家，受陈省身的影响，他鼓吹，推进，发展了 厄米微分几何，李理论和奈望林纳理论，并用它们以研究所谓 周期域 (period domain) 与周期映射 (period mapping)。Hodge 理论于是蓬勃发展，至今仍然是复代数几何中非常宝贵的工具。举几个例子：
总之, Hodge理论不仅仅是Motive理论的实现, 也在具体问题中发挥了巨大的作用.
关于motive有很多可以说的方面, 我们暂且只说Hodge, 留待虚幻的后传来讨论其他的方面.
(八)
如上, 对于特征p的域, 我们可以构造l-adic上同调用以解决许多问题. 然而, p-adic etale 上同调并非正确地上同调理论. 比如, 对于椭圆曲线, 它的p-torsion部分是依赖于椭圆曲线本身的, 而并非(Z/p)^2. 有些具体的数学问题不只需要l-adic的部分, 也需要p-adic的部分. 于是, 构造一个p-adic的"好"上同调就成为必要的了.
此外, 代数几何中的一个重要技术就是"lift". 如果有一个代数簇 over 特征 p域, 人们常常希望用特征0的域的几何来说明这个代数簇的性质. 称这个代数簇lifts to char. 0, 如果存在一个complete DVR R of char 0, 一个smooth variety over R, 并且special fibre是给定的variety. lift并非总存在.
Grothendieck定义了crystalline site用以解决这些问题. 他的博士生P. Berthlot的博士论文中定义了所谓的Crystalline上同调. 这个是一个"半好"的上同调理论, 因为它对singular variety表现极差. 这一问题后来被Berthelot发展的"rigid cohomology"理论所部分克服. 目前, 这套理论 (晶体/rigid 上同调) 的理论部分已经基本成型. 这里的故事很丰富, 有很多人参与其中. 我就不一一列举了. 只说一下最近 Abe-Caro 完成了 p-adic 的 theory of weights. 不只是" Weil II" 的理论可以用 p-adic 理论解决, "BBD" 的 perverse sheaf 理论也已经可以在这个框架下完成了.
Crystalline 上同调的一个好处是, 即使variety 本身不能lift到特征0 (witt vector), 它的晶体上同调却是取值在witt vector里的. 你可以假想这个variety does lift, 而且frobenius 也lift并且作用在de Rham 上同调上. 晶体上同调的取值对象是所谓的"F-isocrystal", 这是一个"半线性代数"的对象. 它的分类基于所谓"斜率". 对于"通常"的variety, 这些斜率所决定的信息无非是variety的Hodge number; 但是对于"奇怪"的variety, i.e. 斜率不能由hodge number决定, 它们的特殊几何就特别引人兴趣. 比如, 在椭圆曲线的例子下, 奇怪的椭圆曲线称之为"supersingular"; 在K3的例子里,斜率最偏移的叫做supersingular K3曲面. 它们是unirational(最近由Liedke证明)的(这在特征0是不可想象的).
对于定义在有限域上的代数簇, 所以斜率无非是 Frobenius 作用下特征根的被 p 除的阶数 (根据 Deligne 的 Weil 猜想的解, 它们都是代数整数). 关于晶体上同调, 或者p-adic上同调, 可以读一下B. Mazur的下面的短文, 它是他重要工作的一个简短介绍.
MR0330169(48 #8507) Reviewed
Mazur, B.
Frobenius and the Hodge filtration.
Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 653–667.
14G20 (10C20 14F30)
