前面有的回答说是抛物线，是错的。考虑一种最理想的情况，也就是绳子质量线密度为 \rho ，但是不考虑空气及其流动对绳子造成的影响（考虑进去方程会过于复杂，至少高中学生难以求解）。重力加速度恒定为 g 。
题主问题描述里那样建立坐标系是不可取的，难以求解。一般来说水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，但是横轴原点通常选在绳子的最低点。在这一点上绳子坐标是 A(0,a) ，只受横向水平拉力 H ，没有纵向拉力，满足 y'=0 。风筝给绳子的拉力沿绳，为 T ，与水平方向夹角为 \theta 。这个拉力与夹角可以通过风筝的受力静平衡解出来，算作已知量（假设风筝静止在空中）。我们分析从 A 点到风筝这一段长为 s 的绳子，列出静平衡方程：
\begin{cases} &T\sin\theta=\rho gs\\ &T\cos\theta=H\\ \end{cases}\tag1
于是有：
\tan\theta=y'=\frac{\rho gs}{H}\tag2
我们知道对于一段绳长微元：
\begin{align}\mathrm d s^2&=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\\ &=(\mathrm dx)^2[1+(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2]\\&=(1+y'^2)(\mathrm d x^2)\\ \end{align}\tag3
所以：
s=\int_0^x\sqrt{1+y'^2}\mathrm dx\tag4
根据（2）（4）有：
y''=\frac{\rho g}{H}\sqrt{1+y'^2}\tag5
令 y'=p ，则 y''=\frac{\mathrm d p}{\mathrm d x}=\frac{\rho g}{H}\sqrt{1+p^2} ，此时有：
\int \frac{\mathrm dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int \frac{\rho g}{H}\mathrm dx\tag6
积分代入边界条件 x=0,p=0 ，有：
p=\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\operatorname{sh}(\frac{\rho g}Hx)\tag7
这个结果为双曲正弦函数， \operatorname{sh}x=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{2} 。之后（7）也可以继续分离变量积分，我们调整一下坐标原点，把整个坐标系上下平移一下，对结果没有任何影响，使得 A 点坐标参数满足关系a=\frac{H}{\rho g} ，这个时候边界条件为 x=0,y=a 。（7）可得到：
y=a\operatorname{ch}\frac xa\tag8
这说明风筝线的曲线是双曲余弦函数。所以双曲函数也叫「悬链线」。
最后需要说明的是这个模型事实上是很粗糙的。需要无限细但是质量密度很大的线才可以满足不受风载影响这一理想情况。实际上尤其是高空，风载会成为影响线形貌的重要因素甚至主要因素。这个建模只是告诉题主一个建模解决问题的思路。但是如果是实际的风筝在放飞，模型想要吻合线的形貌需要考虑更多复杂因素，有可能需要数值求解，这些更真实的模型题主之后进入大学可以进一步分析研究。
