看来题主是刚刚接触微积分，还不太了解微积分的数学意义和物理意义间的联系。 微积分的本意是为了研究变量的变量。 这样说有点抽象，我们来举个简单例子。
我们知道速度是衡量单位时间内移动位移的物理量， v=\frac{ds}{dt} 。对于匀速运动，这个公式简单明了， \Delta s=v\Delta t ，只要知道了运动时间，就能知道运动位移。如果不是匀速运动呢？我们在此引入了一个新的物理量——加速度，并让 a=\frac{dv}{dt} 。这意味着，极短时间内的速度变化为加速度。当然，如果加速度是恒定的，我们可以将其简化成 \Delta v=a\Delta t 。如果我们仍然想知道运动位移与时间之间的关系，该怎么办呢？我们已经知道任意极短时间内的位移为 ds=vdt ，而当时的速度为 v=v_{0}+\Delta v=v_{0}+at 。所以，\int_{0}^{s}ds=s=\int_{0}^{t}(v_{0}+at)dt=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} 。这里用到的就是微元思维和积分操作。微元思维指的是找到极短时间内变量之间的关系，而积分操作则是纯数学计算。
现在来看你的问题。题目中有已知的恒定加速度 a ，需要得到速度与位移之间的关系。第一步就是想办法在加速度表达式中引入位移。 a=\frac{dv}{dt}=\frac{dvdx}{dtdx}=v\frac{dv}{dx} ，这里的 dx 指的是极短时间内的位移，所以可以与 dt 消去变成 v 。而后就是纯数学操作。因为公式里还有两个变量 dv 和 dx ，所以将它们移项到等式两边进行积分，得到 {v_{1}}^{2}-{v_{0}}^{2}=2a(x_{1}-x_{0}) 。其实将这个公式变一下形，就会得到动能公式 \frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{v_{0}}^{2}=ma(x_{1}-x_{0})=F(x_{1}-x_{0}) 。
至于你提到的另一个问题，解答类似。题目中已知加速度与即时速度有关，为 a=-kv ，求即时速度与时间之间的关系。首先，极短时间内的速度变化为 dv=adt=-kvdt ，成功引入时间变量。而后，将相同的变量放到等式一边进行积分，就得到 ln\frac{v}{v_{0}}=-kt 。
以上。
