首先，易知(不严格地)，在大于2 的自然数中任性选一个数，则其为偶数的概率应该是
P_1=\frac{1}{2}.
而在大于2 的自然数中任选两个数，则它们有公约数 2 (即两个数均为偶数)的概率应该是
P_2=P_1P_1=\frac{1}{2^2}.
那么在大于2 的自然数中任选两个数，则它们没有公约数 2 的概率就是
P_{31}=1-P_2=1-\frac{1}{2^2}.
同理，在大于2 的自然数中任选两个数，则它们没有公约数 3 的概率是
P_{32}=1-\frac{1}{3^2}.
在大于2 的自然数中任选两个数，则它们没有公约数 5 的概率是
P_{33}=1-\frac{1}{5^2}.
以此类推，在大于2 的自然数中任选两个数，则它们没有第 k 个素数公约数 p_k 的概率是
P_{3k}=1-\frac{1}{p_k^2}.
而要是这两个数互质，则所有素数都应该不是它们的公约数，这样，它们除了 1 外再无公约数，因此，在大于2 的自然数中任选两个数，则它们互质的概率是
P=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_k^2}\right).
其中 p_k 为第 k 个素数。
而由 \text{Euler} 乘积公式可知
\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_k^s}\right)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\zeta(s).
因此
P=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^{-1}=\frac{6}{\pi^2}.
