当物体旋转不快的时候，「离心力」看起来不大，但如果不对边界加以限制，物体会很快加速到一个令人意想不到的速度。
昨天在刷抖音，突然看到了下面这个视频，视频里说：匀速旋转的光滑杆上串着一个小球，如果杆一秒旋转一圈，那么距离中心 1cm 的小球会在三圈半后超过光速。
看到这个结论后，我虎躯一震，觉得有些不可思议。于是我掏出了纸和笔，演算了一番。
解题过程
首先，我们可以把球的速度分成「水平方向」和「垂直方向」。
v=\sqrt{v_{//}^{2}+v_{\bot}^{2}} (1)
高中物理告诉我们，对于圆周运动，我们有：
v_{//}=\omega r (2)
a_{\bot}=\omega^2r (3)
这个 \omega ，是指圆周运动的角速度； a_{\bot} 是指垂直方向的加速度；
显然，我们还有
\frac{dv_{\bot}}{dt}=a_{\bot} , \frac{dr}{dt}=v_{\bot} (4)
带入 (3) 式，我们有：
\frac{d^{2}v_{\bot}}{dt^{2}}=\omega^{2}v_{\bot} (5)
这是一个简单的「二阶微分方程」，可以描述为
v_{\bot}''-\omega^{2}v_{\bot}=0
特征方程： \lambda^{2}-w^{2}=0
两个解： \lambda=\pm\omega
于是方程 (5) 的通解是： v_{\bot}=C_{1}e^{\omega t}+C_{2}e^{-\omega t} (6)
考虑到边界条件：
v_{\bot}(t=0)=0
v_{\bot}'(t=0)=a_{\bot}(t=0)=\omega^{2}r_{0}
带入 (6) 式，有
C_{1}+C_{2}=0
\omega(C_{1}-C_{2})=\omega^{2}r_{0}
于是解得：
C_{1}=\frac{1}{2}\omega r_{0} , C_{2}=-\frac{1}{2}\omega r_{0}
于是：
v_{\bot}=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}-e^{-\omega t})
v_{//}=\omega r =\omega(r_{0}+\int_{0}^{t}v_{\bot} dt)=\omega r_{0}(1+ \frac{1}{2}(e^{\omega t}+e^{-\omega t}-2) )=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})
考虑到， \omega t 比较大的时候，负向指数趋于 0。
于是有： v_{\bot}\approx\frac{1}{2}\omega r_{0}e^{\omega t} \approx v_{//}
带入 (1) 式，有：
v\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\omega r_{0}e^{\omega t}
这个最终的结果展示了， 小球的速度随时间将以指数的方式增长。
小球加速到光速的时间：
t_{c}\approx\frac{1}{\omega} \ln \frac{\sqrt{2} c}{\omega r_{0}}
在本问题中， \omega=2\pi , r_{0} =0.01
得出 t 约为 3.602 秒。
如果不考虑相对论效应，的确会在 3 圈半后超过光速！
当然了，这只是一个在牛顿力学体系下理想实验，实际上，并没有完全光滑的、每秒旋转 1 圈的、无限长的杆子。
