自动控制理论这门课是不好学。很重要的一个原因是没有特别优秀的教材，并且很可能老师在讲课的时候也不太注重解释「我们到底要干什么」，所以很容易学得云里雾里。
而且，相信我，即使现在感觉学懂了题目都会做了考试也通过了，等到将来学完状态空间描述，学完线性系统理论，甚至再学一些非线性系统的知识之后，你还是会发现以前的好多理解太肤浅，甚至不正确。
要知道零点和极点的物理意义，首先要知道它们是怎么来的。
——这个很简单，从传递函数里来的。
那传递函数是怎么来的呢？
——拉普拉斯变换。
为什么要做拉普拉斯变换？
这个问题就不是那么好回答了。
（拉普拉斯变化有很多种物理意义的解释，我这里只提供其中一种。）要想回答这个问题，我们需要看看所谓的「控制」到底是在干什么。翻开任何一本控制工程基础的教材，引言部分必然会举一系列物理系统的例子，可能罗哩罗嗦一大堆。其实核心只想说明一句话：这个世界里很多现象，是可以（也是必须要）用 常微分方程 来描述的。
输入u(t)，输出y(t)，还有它们各自对时间t的导数、二阶导数……，一起组成了一个（目前我们只考虑线性的）方程：f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...)。线性的意思是，在f()中，y, dy/dt, d2y/dt2（能看懂吧，二阶导数）是不会有平方啊，互相乘之类的事情，只会是 k1*y + k2*dy/dt + k3*d2y/dt2.... 这种形式，k1、k2、k3是常数。
我们不妨认为y是未知的，u是已知的，那么这就是一个关于y(t)的线性常微分方程，而且方程右边是已知的，于是我们可以把它简化写成f(y,dy/dt,....) = g(t)。方程的解y(t)是一个关于时间t的函数。
如果你有一点数学强迫症，那么看到方程的第一反应应该是想求解它。没错。虽然以「自动控制原理」的角度看，求解这个方程似乎没有什么价值，甚至可以说整个「自动控制原理」压根就没想过要求解它，也（似乎）不关心它的解是什么样子的，但是如果学完了线性系统理论（国内很多地方把这门课叫「现代控制理论」，这实在是一个不能再差劲儿的名字了。同理「自动控制原理」听起来也是略奇怪的，不过至少还能忍。「现代控制理论」这名字要吐槽的地方太多，这里暂且不表），你就会发现学习研究一下这个常微分方程的解是很有必要的。
只有知道了方程的解y(t)到底长什么样，才能理解极点的物理意义。
这里就需要补补课了。线性常微分方程怎么解？一个更基础的问题是，它的解长啥样？想了解清楚的话我强烈建议找本相关的教材看一看，其实原理很简单的，不过学习数学的东西还是严谨一些的好。我在这只能试着大概作个介绍。
通常来讲，一个形如 f(y,dy/dt,....) = g(t) 的线性常微分方程，它的解可以分为两个部分：通解加特解。通解就是方程 f(y,dy/dt,....)=0 的解，通解里会有待定的系数，无论系数取多少，通解都满足 f(y,dy/dt,....)=0 。特解呢，就是 f(y,dy/dt,....) = g(t) 的「一个」解。很明显，在没有其它诸如y(0)=a, y'(0)=b的初值条件的情况下，一个特解加上一个「待定系数取任意值」的通解，结果仍然该方程的一个解。
OK，关于线性常微分方程就说到这儿。那它和拉普拉斯变换有什么关系吗？
——拉普拉斯变换可以帮助我们求 f(y,dy/dt,....)=0 的解，也就是求线性常微分方程的通解。
How？
书上说，拉普拉斯变换是一种线性变换，它可以把线性常微分方程变成代数方程。什么意思呢？拉普拉斯变换会把y(t)变成Y(s)（那个公式就不列了，都懂的）。而这个变换是一一对应的，也就是说，一个y(t)对应一个Y(s)，可以变过去，还可以变回来。
好，那现在，比如，我有一个关于y(t)的微分方程，不会解，怎么办？
拉普拉斯变换可以变y(t)，也就可以变f(y,dy/dt,....)。 f(y,dy/dt,....)=0 会变成 F[Y(s),...]=0。我们不知道y(t)的表达式，于是也就不知道Y(s)的表达式。注意变换是线性的是一一对应的，也就是说如果我们把 F[Y(s),...]=0 看成一个新方程，解出 Y(s)，再反变换变回去，就能得到我们原本想求解的y(t)。
这折腾来折腾去的什么好处呢？很简单：对dy/dt 进行拉普拉斯变换，结果是sY(s)-y(0)，微分不见了！（千万别忘了-y(0)）F[Y(s),...]=0 不再是一个微分方程，而是一个代数方程。 k1*Y(s) + k2*s*Y(s) + ... = c(s)。方程右边通常不是零，而是一个关于s的式子，因为y(0)、y'(0)等等都不一定等于零。接下来可能小学生都能蒙出Y(s)怎么解了吧，用c(s)除以k1+k2*s+k3*s^2+...就行。
最后一步，用拉普拉斯反变换，把求出来的Y(s)变成y(t)，就得到 f(y,dy/dt,....)=0 的解了。很简单吧。
关于微分方程，还有最后一点需要说明。我们已经知道了怎么求通解（用拉普拉斯变换），可是，这个通解又究竟长什么样子呢？
我们看看刚才求解过程的最后一步，也就是拉普拉斯反变换。要被反变换的对象是一个分子分母均为多项式的分式。如果你已经熟练掌握了反变换的技巧，你应该知道为了方便查表，可以把这个分式 c(s)/[k1+k2*s+k3*s^2+...]，写成一系列简单分式的相加，比如1/(s+a)，比如1/[(s+a)^2+w^2]，然后就可以查表变回去了。
1/(s+a)的拉普拉斯反变换是什么？exp(-at)。那w^2/[(s+a)^2+w^2]呢？exp(-at)sin(wt)。所以呢，通解最终也就是由一些形如exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)之类的项相加起来。这就是我们在输入u=0情况下，即 f(y,dy/dt,....) =0 时求得的解y(t)！如果输入u不等于零呢？刚才讲过了，通解加一个特解就是全部的解，也就是说这些项还是会存在于任何一个解中。
OK，知道这么多，够了！下面讲讲零点极点的物理意义是什么。
传递函数是怎么来的？对 f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...) 进行拉普拉斯变换，假设初值均为零，然后写出Y(s)/F(s)就行了。那么，极点就是对 f(y,dy/dt,....) 进行拉普拉斯变换提取出Y(s)之后剩下的关于s的多项式（即传递函数分母）的根。
现在，我们再回头看一看常微分方程 f(y,dy/dt,....) =0 的解。 记得30秒前求出的的解的样子吗？那些用拉普拉斯反变换的来的exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)......，a1、a2是什么？好像，是对某个分子分母都是多项式的分式分解成1/(s+a)之类的时候得到的项。这么说来，-a1、-a2应该是那个分母多项式的根（或者，复平面上根的实部，因为(s+a)^2+w^2的根就是-a+-wi）吧。可是刚才那个分母多项式是什么呢？k1+k2*s+k3*s^2+...，是 f(y,dy/dt,....) 的拉普拉斯变换后，提出公因子Y(s)后留下的多项式。它 和传递函数的分母是一样的！
也就是说，传递函数的极点，和方程 f(y,dy/dt,....) =0 的解，也就是和方程 f(y,dy/dt,....) =g(t) 的解密切相关。
极点有什么物理意义？我随便指定一个输入u(t)，u(t) 可以是零（注意这里没有用反馈），那么最终的输出y(t)就是方程 f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...) 的解。方程的解是通解加上特解，而通解就是一堆形如exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)之类的项相加起来，其中-a1、-a2就是传递函数的极点实部！也就是说， 在系统的输出y(t)=blablabla里头，极点（或极点的实部）是位于其数学表达式中指数的幂的位置，与时间t相乘（即exp(p*t)里的p） 。
如果所有极点都在左半平面，-a1、-a2都是负数，那么随着t趋向于无穷，所有exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)这些项都趋向于零，于是如果u(t)也为零的话y(t)就等于通解，y(t)趋向于零，所以我们就说系统是稳定的。如果有那么一个极点位于右半平面，即那么有一个-an是大于零的。结果就是随着t趋向于无穷，y(t)里会有那么一个exp(-an*t)趋向无穷大，而其它项都趋向于零，于是y(t)就会趋向于无穷大你的系统就没法稳定了！这就是极点的物理意义。
极点是系统本身的属性，（在没有反馈的情况下），与你怎么调整输入无关。即使你改变了物理系统输入，调整了 g(u, du/dt,...) 这个函数，极点也不会改变。
而零点，则表示输入如何影响系统。因为零点就是 g(u, du/dt,...) 拉普拉斯变换blablabla之后blablabla多项式的根。要说它们有什么直接的物理意义，似乎不太好解释。不过，我们刚才讨论的都是开环的情景，如果系统用上了反馈，开环变成闭环之后， 零点就会参与影响闭环系统的极点了 ！关于这时零点是如何发挥作用的，呼，你就慢慢看书慢慢学习吧……
