楊振寧說的那句：
「有那麽兩種數學書：第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了」
算不算？
講話的背景是，楊振寧在一個物理學演講時候，談到自己曾經察覺到自己的物理理論可能和一個數學理論有聯系，於是就找了一本著名的相關數學書來讀，結果一無所獲。因為該書從頭到位都是定義、定理和純粹式的推理，生動的背景和案例知識一個都沒有，讓他摸不著頭腦。
這事被捅出來後，好多人炮轟他，但楊振寧沒有退縮，還說數學家應該讓大家喜歡你，才能讓數學產生更大的效果。
還有一位物理學家喜歡拿數學家開涮，就是費曼。
因為他們學校的物理系和數學系共用一個休息室，物理系的同學們經常會看到這樣的場景：
兩個數學系的學生在討論數學問題，其中一個一直想不明白今天上的課，覺得理解起來很吃力。
站在另一旁的另一個數學系同學說：「這個太簡單了！太簡單了！」。然後開始長篇大論，滔滔不絕：「首先，你要假設這個這個，然後使用那個那個定理，再把什麽什麽代入進入……」。
最後，那個迷惑的同學勉強地說：「嗯，很簡單，……（再次陷入思考）……是很簡單。」
他們物理系的同學就會在旁邊發笑，費曼站出來說：「我們發現了一個新定理：數學系的同學只懂得證明那些很簡單的定理，因為每個已經被證實的定理都是很簡單的」
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其他答主都談了物理和數學的關系，我也來聊聊。
數學和物理，其實是有很大的不同的，只需要專門去讀【數學史】和【物理學史】相關的書籍，都會專門闡述這個問題。雖然19世紀以前，它們確實互相有非常多的交融，彼時一個英才常常多才多藝，集數學家、物理學家、工程師與哲學家於一身，所以解決問題時會在不同學科之間互相借鑒。但是19世紀以後，數學家們完善了集合論、數理邏輯，把原本從現實經驗得來的數學知識，重新用公理演繹體系「再造」了一遍。這樣，數學與物理就正式分道揚鑣了。
其結果是：到1900年，數學已經剝離了「實在性」，其理論所研究的抽象結構變得自由、任意且高度形式化。
當然，這次「分手」是不平靜的。高斯、黎曼、赫母霍茲和康托爾等少數宗師級人物認為數學不是自然真理，只是人造物。因為他們剛發明的諸如非歐幾何、四元數、任意維空間、無長度曲線、不可積分函式等等之類新概念遭到了舊學者們批判，當時大多數人不接受這些超前的思想，攻擊其沒有現實意義，並且諷刺其為「畸形的邏輯」。為了支持自己的新觀念，那些大數學家們索性把數學研究更加擴大：只要你能給出一些抽象結構體，研究它們的規律，那麽就是在搞數學，無論抽象結構有多麽任意！
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從我們身邊來說，一般人對數學與物理的了解不超過學校課本，因此大多數人看到物理書上有好多數學公式，會誤以為他們思想上是想通的，覺得搞數學的肯定會搞物理。但其實，一般研究活動都用上數學公式的，在所有的科學領域以及工程學、軍事學、管理學和經濟學等等都會有數學公式，比如有些【軍事學】專業課本上的數學公式不比物理學少。甚至藝術領域也會有，比如美術繪畫就會研究【射影幾何學】。
我覺得最好的關系解釋應該是這樣：因為引入了數學，這些古老的知識就上升到了「科學」的層次。
換句話說是：「數學模型」+「測量技術」+「觀察知識」→「科學知識」。註意！一定要有測量技術，它才是數學與現實溝通的平台，否則如果以看到一本書裏面就算有80%的數學公式，那也可能是糊弄人的附會想象，不是科學。
因為科學思想有個重要部份叫做「控制論」。它提出一個原則：我們搞科學研究不是用來遊戲、審美或者心靈昇華這類精神滿足，而是要尋找到操縱自然事物的方法，實作對物質世界的主宰。比如說，A代表一個自然現象，那麽所謂的「科學地理解了A現象」就是必然可以做到「人工地」約束或者創造A，這就叫做新技術。
我們不在這談控制論具體的細節，但它們的基礎都離不開要闡述「測量-反饋」的定量處理過程。這就使得「數學模型」成為了科學理論的首選，不僅是因為它可以評判誤差，更重要的是它能清晰、明確地表達變量之間的復雜因果關系。在進行「控制變量」地實驗後，我們能根據檢驗反饋，正確地排查到問題的變量。從另一方面來說，使用「數學模型」闡述理論又賦予了「邏輯」的合法性，讓詭辯者閉嘴。
「控制論原則」使我們想評判別人的科研成果時可以借助工具技術，於是我們雖然不如牛頓、歐拉那些大科學家聰明，但是卻能正確地指出他們的成果的錯誤和不足之處，就好比我們去商店買燈泡的時候，我們並不知道燈泡的工作原理，但並不妨礙我們能辨別一只燈泡是否壞了。科學成果可以透過測量驗證，這便是科學理論能自動進步與完善的基礎。
但這種方式並不僅僅狹隘於科研，還有很多其他領域也需要數學模型。軍隊打仗也要做「戰術計算」和「作戰數值模擬」，但戰爭比數學還古老。學透視繪畫可以先學學射影幾何學，但不是必要。音樂原本屬於古希臘數學的四大分支之一，彼時「樂理」就等於是「數論課」，但現代搞音樂的也沒見他們去學數學。甚至歷史上曾經有一小段潮流，詩歌、文學也被要求按照「統計學」原則來創作，當然最終它還是過氣了。
在這些學科裏，數學知識都體現出「工具」的角色，工具肯定是不能代表主體的，所以不能輕易地說數學是所有學科的基礎。比如現代人都離不開手機這個工具，但沒人會說：不懂手機工作原理的人就不懂人類。
其實回顧歷史，把數學當做所有知識的根本，是一個早就過時的「潮流」。在古希臘時代早期，畢達哥拉斯和柏拉圖他們就把數學當做一種「自然神」，認為存在一個完美的「數學世界」，現實的「物理世界」只是它的一個拙劣的模仿者。這個觀念很快就被後繼的學者——「經驗主義者」亞里斯多德——批判過。亞里斯多德認為:人可以定義不存在的概念，而且人們經常混淆概念的「可定義」與「真實性」，所以有時候邏輯推理會不符合事實。知識還是要以對現實的觀察為基礎。
像這樣的大辯論在歷史上反復再現過好幾次，每次都興起於一某個文明剛剛領略到數學的邏輯美，有點像皈依者狂熱。比如西歐基督教吸收了從伊斯蘭教回傳的古希臘數學知識後，把「歐幾裏得幾何學」膜拜成上帝造物的法則，贊譽它為一切知識的最完美形式，奉【幾何原本】為神聖。當然我們都知道它的結局。
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我再舉個具體例子來說說數學和物理相差點。
比如，大家學習【量子力學】的時候，翻到氫原子的波函式方程式的求解那節，課本上的解法是先觀察物理實驗的極端情況，以次猜測一個待定系數的波函式，然後代入方程式裏去推算系數。
但如果碰到搞數學的，他們卻先要思考這個方程式屬於哪個類別？如何證明解的存在？特別是有些「數學高手」能舉例出各種奇特、難懂的解來反駁，他們就會覺得搞物理的很不嚴謹，憑什麽就得是波函式？不能是其他函式？
物理課本的解法，就包含了物理專業才知道的「定性分析法」，物理推導會根據觀測經驗去淘汰、選擇一些數學模型，因為很多物理方程式的「數學解」不符合物理。
再比如量子力學裏的「薛丁格方程式」，這個方程式是薛丁格在考察了哈密頓對光學的研究成果後，「猜想」出來的。薛丁格方程式其實是哈密頓光學方程式的一種比喻，哈密頓基於最小作用量原理搞出的這個方程式被薛丁格看過了之後，老薛憑著他優秀的「物理直覺」猜想出了一個模仿到粒子領域的版本，這個物理直覺其實是一種專家級別的類比思維。有意思的是，薛丁格最初是奔著構思一種「波動力學」去的，他最初其實沒有正確理解自己的研究成果，看來他的成功有一點點「偶然性」。
所以物理領域的「物理直覺」、「物理定性分析」、「實驗技術」是它們自己獨有的知識，這是數學專業給不了的。
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再從其他角度來說，物理學上使用的數學並不算難，大學物理的【量子力學】也只是在解線性微分方程式，這是數學裏最簡單的微分方程式了。甚至好多理論之所以用「線性微分方程式」，就因為這個東西好求解。回到19世紀以前，那時的物理學家，除了搞力學的，也用不到那麽高深的數學。
不僅不難，物理學裏所使用的數學知識，也只占整個數學體系的九牛一毛而已，完全不對等。正如我開頭說的，數學研究是任意的，只要你能抽象出結構就行，所以現代數學的內容十分廣泛，連打繩結都能被它抽象成「紐結理論」。假如拿分支體系來比較，數學分支的「樹形圖」顯得枝繁葉茂，其它學科跟它相比就是「小樹苗」，同樣是學數學的，互相之間看不懂對方的論文都有可能。
最後，我用個比喻來總結：煉金術神話中有一種叫做「賢者之石」的罕世催化劑，有了它，煉金術師就能把銅、鐵這樣的賤金屬變成黃金，所以又叫「點金石」。而我們的數學便是套用學科的「賢者之石」。
