演示一下如何從高中學過的幾個電磁場的實驗定律構建出馬克士威方程式組吧，希望對你將來學物競的電磁學有幫助。
在開始之前，先介紹兩個概念：
① \nabla\cdot
這個符號叫
散度
，把它作用到一個向量上會得到一個純量， \nabla\cdot\vec a=b
，含義是：空間中有一個點源 b
產生了 \vec a
這個向量場，如果 b<0
則它產生的 \vec a
的方向朝向 b
，反之則背離 b
。
② \nabla\times
這個符號叫
旋度
，把它作用到一個向量上會得到一個另一個向量， \nabla\times\vec a=\vec b
，含義是：空間中有一個向量源 \vec b
產生了繞它旋轉分布的向量場 \vec a
，旋轉方向按右手定則確定。
一、庫侖定律
庫侖定律：
倆帶電荷物體之間存在平方反比的靜電力
， \vec F=\frac{Qq}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec r}{r^3}
考慮到電場的定義 \vec E\equiv\vec F/q
以及電荷的密度定義 Q\equiv\int_V\rho\mathrm dV
我們可以把庫侖定律覆寫成： \vec E=\int_V\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV
現在把兩邊同時作用一個散度算符：
\nabla\cdot\vec E=\int_V\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\nabla\cdot\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\oint_S\frac{\vec r\cdot\mathrm d\vec S}{r^3}
最右邊這個曲面積分是個立體角積分， =4\pi
，所以最終我們得到：
① \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
這就是馬克士威方程式組的第一個方程式，其含義是：
如果空間中有電荷 \rho
，那它就會作為一個點源激發出電場 \vec E
.
二、電磁感應定律
電磁感應定律：
一個回路中磁通量變化會導致此回路產生電動勢
， \mathcal E=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_S\vec B\cdot\mathrm d\vec S
考慮到電動勢定義 \mathcal E=\oint_L\vec E\cdot\mathrm d\vec L
這個式子可以用斯托克斯公式覆寫為： \mathcal E=\int_S\nabla\times\vec E\cdot\mathrm d\vec S
代回到電磁感應定律裏面就能得到：
② \nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t
這就是馬克士威方程式組的第二個方程式，其含義是：
如果空間中有一個隨時間變化的磁場 \vec B
，那麽就會繞著這個磁場產生旋轉分布的電場 \vec E
.
三、必歐-薩伐爾定律
必歐-薩伐爾定律：
通電導線周圍會按右手定則產生磁場
， \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec J\times\frac{\vec r}{r^3}\mathrm dV=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\int_V\frac{\vec J}{r}\mathrm dV
因為 \nabla\cdot(\nabla\times\vec a)=0
所以把上式兩邊同時作用一個散度算符得到：
③ \nabla\cdot\vec B=0
這就是馬克士威方程式組的第三個方程式，其含義是：
不存在可以產生磁場的點源，即沒有磁單極子
。
如果是把等式兩邊同時作用一個旋度算符的話，那麽
\nabla\times\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V[\vec J(\nabla\cdot\frac{\vec r}{r^3})-(\vec J\cdot\nabla)\frac{\vec r}{r^3}]\mathrm dV
其中第一項積分 =4\pi
，第二項積分為0，所以最終我們得到：
\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J
這是必歐-薩伐爾定律的另一種表達形式，通常稱為
安培環路定則
。
四、電荷守恒定律
電荷守恒定律：
電荷總量不隨時間改變
， \frac{\partial\rho}{\partial t}=0
因為電流定義為 \vec J\equiv-\rho\vec v
所以 \oint_S\vec J\cdot\mathrm d \vec S=-\int_V\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm dV
式子左邊可以用高斯定理覆寫為 \int_V\nabla\cdot\vec J\mathrm dV
所以可以得到 \nabla\cdot\vec J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
這意味著一個區域內如果有電荷進出的話，就會有電流流入或流出。
把前面我們匯出的 \nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
代入進去，可以得到 \nabla\cdot(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})=0
這意味著電場 \vec E
隨時間變化可以等價為一個新的電流項，稱為
位移電流
。把這兩個電流項代入安培環路定則，我們得到：
④ \nabla\times\vec B=\mu_0(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})
這就是馬克士威方程式組的第四個方程式，其含義是：
如果空間中有電流 \vec J
或者隨時間變化的電場 \vec E
，那麽就會繞著它們按右手定則產生磁場 \vec B
.
總結一下，以上推出的四個方程式
\nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0
\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t
\nabla\cdot\vec B=0
\nabla\times\vec B=\mu_0(\vec J+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t})
就是電磁場的馬克士威方程式組，它們四個再帶上一個作為實驗定律的勞侖茲力公式
\vec F=q\vec E+q\vec v\times\vec B
構成了經典電磁場理論的底層基礎，原則上
一切經典電磁現象都可以由這五個方程式去解釋
。
