2020-05-06
物理學中， Wick rotation 是一個找尋解的方法，將閔考斯基空間（ Minkowski space ）中的問題轉到歐幾裏得空間（ Euclidean space ）中，於其中求解，再逆轉回 Minkowski space 中，所根據的是「解析延拓（ analytic continuation ）」。它之所以被稱作「 rotation 」是因為當我們將復數表示成平面時，將一復數乘上 i ，等於將代表此復數的向量旋轉了 \frac {π} {2} 的角度（等價於變換 t→it ）。
好像上面這幅圖，把時間覆寫成虛數，然後在這個虛數時間系統裏找動態系統，再對映回本身的 real time 。這個方法本身的根據就是數學理論中解析延拓，原本用來得出 1+x+x²+x³+…… 的數學方法。 Wick rotation 有個成功例子是將統計力學（ statistical mechanics ）與量子力學兩個不同方法，分別代表著宏觀和微觀世界計算得出的可觀察量給連線起來，譬如像我們將統計力學中有關溫度的 \frac{1}{k_BT} 轉換成量子力學中的 \frac{it}{ħ} 這樣。另外， Wick rotation 成功地連結了量子力學與統計力學，舉例來說， Schrödinger equation 與 heat equation 可透過 Wick rotation 而相關連，雖然仍存在些許差異，例如：統計力學中的 n 點函式滿足正性（ positivity ），而 Wick rotation 下的量子場論（ quantum field theory, QFT ）則滿足「反射正性（ reflection positivity ）」。
再者， Stephen William Hawking 在 1978 年提出量子場學重力模型（ quantum field theory ），這個方法在研究量子力學時還用在相對論上，屬於 pseudo-Riemannian manifold 的時空，一個運算上較麻煩的流形，透過 Wick rotation 後會變成 Riemannian manifold ，一個相對運算上較容易，屬於物理學和數學家比較熟識的流形。簡單的例子就好像狹義相對論（ special relativity ）中的 4 維 Minkowski space 在 Wick rotation 後會變成大家都很熟悉的 Euclidean space ，只是從 3 維變了 4 維。歐氏量子重力就是一個廣義相對論經過 Wick rotation ，然後再做量子化（ quantisation ）得出的量子場學重力模型。
比較起來，可以看出 Wick rotation 是從單粒子分布函式到單粒子波函式的關鍵。當前的物理學中廣泛使用 Wick rotation 和費曼路徑積分，以自由例子的作用量 S=∫\frac{x^2}{2}dt 為例，可以插入路徑積分裏做直接計算，或是暫時把指數函式內 i 去掉成比較簡易的理解計算，以後可以用 Wick rotation 回到原式。總之， Wick rotation 是量子理論中的一個計算技巧，其中我們假設能量或時間是純虛的。我們在給出這些假設的情況下進行計算，這些假設通常定義得更清楚，然後分析性地將結果返回到通常的時間和能量的實際值。
