這不是初中數學課本上就講過了的嗎？難道是我記錯了？
有理數無理數什麽的本來就不是靠測量來決定的，因為一個尺子再精確能有多精確？
就像我們現在發現 \pi 不是一個有理數，決對不是把一個輪子在地上滾一圈，看它滾了多遠，然後把這個距離除以它的直徑，發現它是無限不迴圈小數一樣。
再說了，現實世界不像數學界，存在最短距離：普朗克長度 \[{l_p} = \sqrt {\frac{{\hbar G}}{{{c^3}}}} \cong 1.61624\left( {12} \right) \times {10^{ - 35}}m\]
考慮可觀測宇宙的直徑，哪怕用再精確的尺子，也沒辦法算到 \pi 的小數點後 50 位。
那我們是怎麽發現存在無理數的呢？其實很簡單啊，運用數學的力量。
舉一個最簡單的例子： \[\sqrt 2 \] 。
如何證明 \[\sqrt 2 \] 不是有理數？運用反證法，假設它是一個有理數。
按照有理數的定義， \[\sqrt 2 \] 一定可寫成分數的形式： \[\frac{p}{q}\] 。
其中我們特別規定一下， p 、 q 都是正整數，而且它們互質。什麽是互質？就是它們的最大公因數是 1 。
例如 2 和 3 就互質，但 2 和 4 就不互質，因為它們的最大公因數是 2 。
也就是說 \[\sqrt 2 = \frac{p}{q}\] ，兩邊同時平方，得 \[2 = \frac{{{p^2}}}{{{q^2}}}\] ，即： \[{p^2} = 2{q^2}\] 。
來來來，我們來分析一下，因為 \[{p^2} = 2{q^2}\] ，意思就是 \[{p^2}\] 是一個偶數。
那好，我敢斷定，因為 \[{p^2}\] 是偶數，所以 p 也一定是偶數，畢竟奇數的平方還是奇數。
所以我們不妨假設 p=2k \[\left( {k \in {N_ + }} \right)\] ，代入原式，得：
\[{\left( {2k} \right)^2} = 2{q^2} \Rightarrow 4{k^2} = 2{q^2} \Rightarrow 2{k^2} = {q^2}\]
哦，意思就是 \[{{q^2}}\] 也是偶數唄？
那我們還是可以得到 q 也是偶數。
等等，我們發現矛盾了，之前我們假設p 、 q 互質，但現在發現p 、 q 都是偶數，它們顯然不可能互質。
所以得證， \[\sqrt 2 \] 不是有理數。
不要小看這小小的證明哦，它在歷史上被稱作 第一次數學危機 。
畢竟當年的畢達哥拉斯學派和你一樣，認為兩個分數可以靠的任意近，所以直觀上感覺所有有理數可以蓋滿一整條直線。
但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約。新發現的數由於和之前的所謂「合理存在的數」——即有理數在學派內部形成了對立，所以被稱作了無理數。希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以「淹死」的懲罰。
但數學這東西不是宗教，對的就是對的，錯的就是錯的。只要一個東西被數學語言證明了，那它就永遠存在於那裏，不以某個人或某些人的反對而改變。哪怕你現在解決了提出問題的人，問題依舊在那裏，直到永遠~~~
第一次數學危機也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從「自明的」公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物，大大推動了數學的發展。
