看來題主是剛剛接觸微積分，還不太了解微積分的數學意義和物理意義間的聯系。 微積分的本意是為了研究變量的變量。 這樣說有點抽象，我們來舉個簡單例子。
我們知道速度是衡量單位時間內移動位移的物理量， v=\frac{ds}{dt} 。對於勻速運動，這個公式簡單明了， \Delta s=v\Delta t ，只要知道了運動時間，就能知道運動位移。如果不是勻速運動呢？我們在此引入了一個新的物理量——加速度，並讓 a=\frac{dv}{dt} 。這意味著，極短時間內的速度變化為加速度。當然，如果加速度是恒定的，我們可以將其簡化成 \Delta v=a\Delta t 。如果我們仍然想知道運動位移與時間之間的關系，該怎麽辦呢？我們已經知道任意極短時間內的位移為 ds=vdt ，而當時的速度為 v=v_{0}+\Delta v=v_{0}+at 。所以，\int_{0}^{s}ds=s=\int_{0}^{t}(v_{0}+at)dt=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} 。這裏用到的就是微元思維和積分操作。微元思維指的是找到極短時間內變量之間的關系，而積分操作則是純數學計算。
現在來看你的問題。題目中有已知的恒定加速度 a ，需要得到速度與位移之間的關系。第一步就是想辦法在加速度運算式中引入位移。 a=\frac{dv}{dt}=\frac{dvdx}{dtdx}=v\frac{dv}{dx} ，這裏的 dx 指的是極短時間內的位移，所以可以與 dt 消去變成 v 。而後就是純數學操作。因為公式裏還有兩個變量 dv 和 dx ，所以將它們移項到等式兩邊進行積分，得到 {v_{1}}^{2}-{v_{0}}^{2}=2a(x_{1}-x_{0}) 。其實將這個公式變一下形，就會得到動能公式 \frac{1}{2}m{v_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{v_{0}}^{2}=ma(x_{1}-x_{0})=F(x_{1}-x_{0}) 。
至於你提到的另一個問題，解答類似。題目中已知加速度與即時速度有關，為 a=-kv ，求即時速度與時間之間的關系。首先，極短時間內的速度變化為 dv=adt=-kvdt ，成功引入時間變量。而後，將相同的變量放到等式一邊進行積分，就得到 ln\frac{v}{v_{0}}=-kt 。
以上。
