由於冪函式 x^m 在 [a,b] 上連續，於是可積 [1] ，換言之，定積分存在。這保證我們可以透過執行 特殊 [2] 的分割取近似、作和求極限的手續來求出這個積分值。
為此，考慮在 [a,b] 中插入分點 a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. 為了便於計算，我們讓這些分點不再是通常的「等差型」 [3] 而是特殊的「 等比型」 [4] ，即 x_i=aq^i, 這裏 q=\sqrt[n]\frac{b}{a}. 取 \xi_i=x_i=aq^i, [5] 且 \Delta x_i=aq^i-aq^{i-1}=\frac{aq^{i}(q-1)}{q}, 由此做成積分和
\begin{align*} \sigma(n):&=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\\&=\sum_{i=1}^nf(aq^i)\frac{aq^{i}(q-1)}{q}\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\sum_{i=1}^n (q^{m+1})^i\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\cdot\frac{q^{m+1}((q^{m+1})^n-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=\frac{a^{m+1}(q-1)}{q}\cdot\frac{q^{m+1}((\frac{b}{a})^{m+1}-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=(b^{m+1}-a^{m+1})\frac{q^m(q-1)}{q^{m+1}-1}\\ &=(b^{m+1}-a^{m+1})\frac{q^m}{q^m+q^{m-1}+\cdots+1}. \end{align*}\\
很顯然，當 n\to \infty 時， q\to 1, 於是對所有 i 都有\Delta x_i\to0, 此時
\int_a^b x^m{\rm d}x=\lim_{n \to \infty} \sigma(n)=\frac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1},\\
這就求出了積分值。容易驗證這與利用 \text{Newton-Leibniz} 公式求得的結果是完全一致的。
參考
- ^ 閉區間上的連續函式必定可積，這是有定理保證的。
- ^ 既然定積分存在，那麽按定積分的定義，無論如何分割、選點，積分和都收斂於同一個極限值。於是，只要求出積分和在某個特殊的分割、選點情形下的極限值，那麽其他任何情形下的極限值都將與其同一。
- ^ 即將積分區間等分的那種情況。
- ^ 為何要插入等比排列的分點？請讀者用通常的等差分點來計算一下試試。
- ^ 即分割所得的每個小區間的右端點。
