怎樣評價布爾巴基學派？

撰文 | 丁玖 （美國南密西西比大學數學系教授）

幾百年來，法蘭西民族給近現代世界的文化進步和科技發展起到了引領大潮的推動力作用，並為此貢獻了一代又一代的天才人物。十七世紀從科學哲人笛卡爾、帕斯卡，到「業余數學家之王」費馬；十八世紀從啟蒙思想家伏爾泰、狄德羅、盧梭，到1789年的法國大革命；十九世紀從偉大小說家巴爾查克、雨果及現實主義雕塑大師羅丹，到流芳百世的數理全才龐加萊和造福人類的生物巨人巴斯德，他們所代表的各行業的傑出法國學者為人類的榮耀增添了光輝。

二十世紀三十年代的法國，出現了一個被稱為「布爾巴基」的數學團體，它的成員均為那時還未成名的法蘭西年輕數學家。然而在很短的時間內，這個團體以它的數學觀和它的著作，像一顆耀眼的明珠迅速升騰在世界數學的天空，在六七十年代達到輝煌，其對國際數學界甚至中小學數學教育不可忽視的影響力也在那時臻於極大。

到了新世紀，雖然布爾巴基不再光輝如初，它的著作也少有出版，但它依然存在，依然定期舉辦討論班，依然召開數學會議，依然影響著世界各地的數學。中國當前的數學氛圍和前景，與當年布爾巴基誕生之初的環境有類似之處，數學界的思維狀態也和法國那時的情景有可比之點。因此重溫一下布爾巴基這個在上世紀影響國際數學幾十年的數學家團體的興衰史，分析一下它的數學世界觀，或許能給予我們關於「數學到底是什麽」的一絲線索。

布爾巴基的誕生

布爾巴基是如何「橫空出世」的？這要從當時法國數學界的狀況談起。上世紀初的第一次世界大戰，敵對國德國的政府聰明地設法保護自己的年輕才俊免上前線當炮灰，從而保存了一批未來的優質科學家，大概他們從一百年前的法國統帥拿破侖那句名言「我不會殺了會下蛋的雞」中學到了什麽。然而法國政府卻好像忘掉了歷史偉人的這句忠告，讓年輕人聚集在愛國主義的大旗下，一視同仁地奔赴前線戰場，連1794年拿破侖時期創辦的精英大學巴黎高等師範學校（簡稱巴黎高師或高師）的學子們也不例外。結果是，從1911年到1914年進校的高師數學系學生，幾乎半數在大戰中喪生；從1900年到1918年進入高師的331名學生中，四分之一沒能從戰場上歸來。

到了二十年代，一批法國數學界未來的精英考取了巴黎高師。他們當中有五位是十年後布爾巴基誕生的「助產士」：嘉當 (Henri Cartan，1904-2008) 、謝瓦萊(Claude Chevalley，1909-1984)、德爾薩特 (Jean Delsarte，1903-1968) 、迪厄多內 (Jean Dieudonne，1906-1992) 和韋伊 (Andre Weil，1906-1998) 。這五個布爾巴基的最初成員中，德爾薩特和韋伊、嘉當、迪厄多內及謝瓦萊分別於1922、1923、1924及1926年進校。所以巴黎高師是培育出布爾巴基的搖籃。

在他們大學求知的歲月，巴黎高師的數學家群體以及更廣泛的法國數學界因為世界大戰而落到青黃不接的地步。雖然皮卡 (Charles Picard，1856-1941) 、阿達馬 (Jacques Hadamard，1865-1963) 、波萊爾 (Felix Borel，1871-1956) 、勒貝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等名聞天下的一流數學家依然健在，但都已垂垂老也，早已超出富於創造力的年歲。比他們年輕二十來歲的新一代數學家，或已經戰死疆場，或還未羽毛豐滿。祖父級年齡教授的沈悶課堂、使用了多年未變的陳舊教材，都讓他們深感失望。

1982年，在一篇采訪記中，嘉當回憶了導致布爾巴基誕生的最初想法和直接起因：

「1934年，韋伊和我都在史特拉斯堡大學教書。我常和他談到我所教的微積分課。因為所用的教科書不令人滿意，尤其關於多重積分和斯托克斯定理，我一直在想怎樣用最好的方式教這門課。我和韋伊就我的擔心討論了幾次。某一天風和日麗，他對我說‘我們需要永久性地解決這個問題。我們應該寫一本關於分析的好教科書。這樣你就不再埋怨了。’」

布爾巴基的主要肇始者韋伊在他出版於1991年的自傳【一位數學家的學徒日子】( The Apprenticeship of a Mathematician ) 中，證實了前一個肇始者回憶的正確性：

「1934年的一個冬日，我想出一招以停止我朋友不停的疑問。我告訴他（嘉當），‘我們五六個人在不同的大學教同樣的課。讓我們一起解決這個問題，然後我將終於聽不到你的問題了。’我沒有想到布爾巴基就在此刻誕生了。」

除了上述的五人外，庫倫 (Jean Coulomb，1904-1999)、埃雷斯曼 (Charles Ehresmann，1905-1979) 、芒德布羅伊 (Szolem Mandelbrojt，1899-1983；碎形之父芒德布羅 (Benoit Mandelbrodt，1924-2010)的叔父) 及波塞爾 (Rene de Possel，1905-1974) 等四人也參與了這個數學團體的建立。在這九個創始人中，僅僅出生於波蘭、年齡最長的芒德布羅伊不是高師出身，波塞爾本質上不是數學家，而是地球物理學家，早在1937年就「脫黨」了。

1934年12月10日是禮拜一，這九人中的六位——嘉當、謝瓦萊、德爾薩特、迪厄多內、波塞爾和韋伊——趁著參加龐加萊研究所的朱利亞討論班之機，在巴黎拉丁區的一個名叫A. Capoulada的餐廳地下室，圍著餐桌一邊吃午飯，一邊舉行了第一次「工作會議」。他們都不到30歲，年紀最小的謝瓦萊才25歲，尚未正式任教，其余的五人都不在巴黎的大學教書：嘉當和韋伊在史特拉斯堡大學，德爾薩特在南錫大學，迪厄多內在雷恩大學，而波塞爾在克勒蒙特-費朗大學。

他們的目的很簡單很直接：為法國高等教育撰寫一部新的分析教材，以取代目前不令人滿意的教課書——比如用了多年的古爾薩 (Edouard Goursat，1858-1936) 的那本【分析學】。按照韋伊的想法，有必要「透過寫出一本覆蓋廣泛材料的分析教程，為未來的25年建立微積分學的內容」，而且此書應「盡可能現代化」。為了完成這一使命，德爾薩特強力支持集體寫作的想法，並且希望第一卷要在六個月後出版（事實上第一卷到了1939年才問世），嘉當則提議整套書的篇幅最多在1000到1200頁之間（事實上到目前為止，完成日期「不可預測」的這套書已出的三十多卷總頁數已超過了六千頁），而韋伊提出建議成立確認各個章節內容的幾個子委員會。

1935年7月，這群年輕數學家召開了第一次全體會議。7月16日可以被認為是「集體筆名」布爾巴基的誕生日。那天，忙著開會但討論問題未果的他們決定休息一會兒，便跑到三英裏外的Pavin湖邊。一個有根據的說法是：

「他們中的幾人有足夠的勇氣跳進水中，一邊隨波逐流地裸體暢遊，一邊叫喊‘巴爾巴基’上百遍。」

「布爾巴基」就這樣降落人間！

布爾巴基的傳奇

「布爾巴基」僅僅是我年輕時讀報紙常常看到的像「梁效」、「丁學雷」這樣的寫作班子的筆名嗎？不，它是十九世紀一個具有希臘血統的法國將軍的姓，這位將軍全名叫查理·布爾巴基(Charles Bourbaki，1816-1897) 。

布爾巴基將軍畢業於法國的「西點軍校」——I’Ecole Speciale Militaire，有過幾十年的戎馬生涯，從非洲到義大利打了無數次的仗。在1870-1871的普法戰爭中，他先贏後輸，而這也折射出當時法國的情景。

為何這位或許不懂得多少微積分的昔日軍人與這幫今日數學才俊有緣？事實上，這同來自巴黎高師的一出惡作劇有關。1923年，一個數學系三年級的大學生雨松 (Raoul Husson)決定對一年級新生來個惡作劇，他貼了一張海報，說Holmgren教授要做一個講演，所有新生都要參加。結果如韋伊在其自傳中所述：

「戴著假胡子，發著怪音，他向學生們介紹自己後開始講經典函式論，然後小小地上升到一個故弄玄虛的高度，最後以‘布爾巴基定理’結束。這個故事成了傳奇，但更傳奇的是一個學生聲稱他聽懂了整個的講座。」

始作俑者雨松從法國軍事史中看到布爾巴基的名字，普法戰爭也剛過去55年，加上布爾巴基將軍的麾下有高師的學生，他的名字還在人們的記憶之中，故雨松把他的名字借來張冠李戴地用在了數學上！

三十年代再次成為「布爾巴基」麾下的數學家們，幹脆假戲真做地搞起了幽默勾當。首先他們決定用他的姓作為所建團體的名稱。為了展示它作為一個人物個體的「真實存在性」，他們決定在法國科學院發表以之姓名標示的一篇數學文章，但這還需要一個名。韋伊未來的太太伊夫蘭 (Eveline) 則為布爾巴基起了一個與末代沙皇一樣的名「尼古拉」，這樣Nicolas Bourbaki就成了這個數學組織的正式全名。韋伊自告奮勇地杜撰了布爾巴基的簡歷，開了一次嘉當之父、陳省身的老師老嘉當 (Elie Cartan，1869-1951) 的後門，送到科學院秘書皮卡手上，因為在科學院發表文章需要一位院士的推薦。

這位無中生有的尼古拉·布爾巴基，在熱愛語言和文學的韋伊 [須知他的妹妹西蒙娜 (Simone Weil，1909-1943) 是享有世界聲譽的法國哲學家和社會活動家] 繪聲繪色的生花妙筆下，是個頗有成就的數學家，生於1886年，在祖國的卡爾可夫大學畢業後，獲得獎學金，去了巴黎，然後到了哥廷根大學，分別師從龐加萊(Henri Poincare，1854-1912)及希爾伯特(David Hilbert，1862-1943) ，1910年在母校成功答辯學位論文。後來他的學術生涯豐富多彩，合作者無數，名譽扶搖直上。為了避免被查詢，韋伊故意申明布爾巴基的博士論文在1941年德寇入侵後被摧毀，真是描繪、掩飾得天衣無縫。

布爾巴基出名後，各國數學界人士卻從來沒有在公開場合目睹尊容，他也像隱士一樣地不露崢嶸，成了數學界一個迷。如果他的確是個真人，則比去世前的數學大師格羅騰迪克(Alexandre Grothendieck，1928-2014) 或證明龐加萊猜想的佩雷爾曼 (Grigory Perelman，1966-) 更是「隱士」。直到多年後，布爾巴基在【美國數學月刊】上發表一文，在作者簡介中，還是煞有介事地這樣稱自己：

「尼古拉·布爾巴基教授，前在Poldavia皇家學院，現定居法國南錫，寫了一套【數學原本】，內容是關於現代數學的綜合性叢書（自1939年起由Hermann出版），現已出版十卷。」

布爾巴基的雄心

布爾巴基建立之初的意圖僅僅是寫一本新的分析學教材，但他們很快就開始「雄心勃勃」起來，因為他們要為「分析學」的寫作提供集合論等基礎學科的「預備知識」甚至「相關知識」，但這樣一來，書的覆蓋面就像滾雪球一般越滾越大。誰也沒有料到，迄今為止他們已經出版了三十多卷。為什麽他們的事業在上世紀六七十年代前越做越大？

理由是這批現已在數學史上留下盛名的青年人一開始就有鴻鵠之誌。兩千年前，古希臘數學家歐幾裏得集前人幾何成就之大成，一舉寫出【幾何原本】( The Elements )，用幾乎處處無懈可擊的公理體系，嚴密推理出幾百個幾何和算術定理，吹響了導致西方現代文明理性思維的號角之聲，成為印刷版次數目僅次於【聖經】的不朽作品。

到了上世紀三十年代，經過布爾巴基人一次次會議的來回爭執和熱烈討論，大家一致認為，現代數學的教科書跟不上現代數學前進的步伐，尤其在飽受世界大戰重創的法國，缺少統一的數學觀，即他們所認定的「 數學取決於結構 」的哲學理念。他們要把該信條作為寫作原則，把數學看成有機整體，而非各個分支的碎片組合，重新構建數學的大廈。因此，他們撇開只寫出一本基於微積分思路的現代分析教科書的最初想法，決定集體寫出一部與眾不同、體現當代數學「結構主義」思想，充滿法國文學風格的恢弘大作。

於是，他們模仿歐幾裏得，將書名取為【數學原本】( Elements of Mathematics ) ，希望成為二十世紀的歐幾裏得，引領國際現代數學教育之潮流。65年後，上世紀結束，他們的目標實作得很不錯。據2006年美國數學會轉譯出版的 Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians （【布爾巴基：數學家的一個秘密團體】）一書中的記載，在法文原著出版之時，已出版的書是：1.【集合論】，2. 【代數】，3. 【一般拓撲學】，4. 【單實變量函式】，5. 【拓撲向量空間】，6. 【積分學】，7. 【交換代數】，8. 【微分和解析簇】，9. 【李群和李代數】，10. 【譜理論】。其中幾乎每種書都有好幾卷。

這些書的寫作過程有點像中國五十年前革命現代京劇的創作：精益求精，百煉成鋼。它們都是「革新」的產物，一個屬於藝術，一個屬於科學，但異途同歸於同樣的哲學思辨。在布爾巴基集體看來，範·德·瓦爾登的【代數學】是數學寫作的典範，於是決定每個章節寫出像它那樣的風格。但是範·德·瓦爾登寫書的依據是諾特 (Emmy Noether，1882-1935)和阿廷 (Emil Artin，1898-1962) 的講義，他不必受到別人七嘴八舌的幹擾，而以一己之力獨自完成那本傑作。（參看【一百年前，她成為德國歷史上第一位女性數學講師】）

布爾巴基就不同了，他們是「寫作班子」。每本書動筆之前，大家在會上討論怎麽寫，寫哪些，以及材料布局的先後次序，等等，都要由眾人各抒己見，出謀劃策，任何成員都像聯合國常任理事國那樣擁有否決權，只有一致同意後才決定開寫。這時一位誌願者接下任務，由他無拘無束地按照大家定下的模糊計劃寫出初稿。一兩年後，初稿在布爾巴基會議上宣讀。在「審稿」會上，他們如同遵循美國傑出數學家費德勒 (Herbert Federer，1920-2010) 關於修改自己數學作品的忠告「好像你是作者最兇惡的敵人」似的，對初稿百般挑剔，無情批判，結果是一部稿子體無完膚地落荒而去，於是再寫第二稿，甚至第三稿第四稿，乃至第六、第七、第八稿。讀者最後看到的出版物，就是這樣千錘百煉後出爐的產品。

前已所述，布爾巴基人信奉「結構主義」思想。他們認為數學研究的是結構：代數結構、拓撲結構和序結構。代數結構關心的是代數運算，拓撲結構與「連續」的概念有關，是分析學研究的物件，而序結構像實數那樣考慮的是大小關系。布爾巴基所寫的幾十卷書全是遵循結構主義思想的結晶，這些精心打造的著作，註重理論概念的結構分析，對不同結構分門別類，全書材料經過整理歸納，各就各位，論題所在位置恰到好處，具有嚴密的邏輯性，對同時代及後世的數學家及學生影響極大。從歐洲到亞洲，從北美洲到南美洲，許多數學家長大成人的養分就是一部接著一部的布爾巴基大書！

布爾巴基的活動

作為一個數學團體，雖然是「半秘密」性的，布爾巴基有自己公開的數學活動。自從1935年7月歷時一周的第一次全體會議開始，直到1939年，這樣的會每年一次。第二次世界大戰爆發後，會員無法聚會，但零星聯系依然存在，大戰結束後又恢復了所有活動。直到1948年美國洛克菲勒基金會開始提供資助前，布爾巴基的成員都是自掏腰包參加活動，充分說明他們對數學的無比熱愛。

不像正式的數學團體，布爾巴基也沒有什麽「學會章程」之類的繁文褥節。它的正式成員制度，體現了「數學是年輕人的事業」這一信條，「到了50歲必須結束」是一項不成文的規定。年輕的數學人想參加活動，悉聽尊便，但要想成為新成員，必須有經得起布爾巴基討論數學時燃起的熊熊烈火炙烤的心理準備，而且要有添加燃料讓火燒得更旺的激情才行。那些坐在一旁洗耳恭聽沈默不語的膽小人物或對數學不太活躍的落後分子，多半不會再被邀請參加活動。多年來，布爾巴基的正式成員一般維持在一打左右。

法國和蘇聯數學界都有討論班的傳統，法國有阿達馬的討論班和朱利亞 (Gaston M. Julia，1893-1978) 的討論班，蘇聯有柯爾莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903-1987) 的討論班和蓋爾範德 (Israil Gelfand，1913-2009) 的討論班。從1948年起，布爾巴基開始舉辦討論班，每年2、6、11月共三次在周末舉行，每次五個邀請報告，約有200人參加。報告的內容都是數學各方面的最新結果，最後結集出版。今年最後的一次布爾巴基討論班，報告的內容有北京國際數學研究中心博士後韋東奕與合作者的成果。

布爾巴基的影響

透過幾十卷數學著作的出版，布爾巴基成了上世紀影響力最大的數學學派之一，其聲譽在六七十年代達到頂峰。

韋伊一開始就釘選了巴黎的出版社Hermann同他們攜手同進。編輯Enrique Freymann早先就出版過謝瓦萊和韋伊為紀念英年早逝的一位傑出邏輯學家而編輯的一本論文集，後來為布爾巴基叢書的大賣立下汗馬之功。事實上，謝瓦萊甚至宣稱這位出版人很早就鼓勵他們兩人寫出分析教程以取代古爾薩。盡管有冒險的可能，Freymann一開始就以極大的熱情支持布爾巴基的事業。對他至死不渝地全力相助，布爾巴基深受感動，將1954年出版的【集合論】第一卷獻給了校對清樣時不幸去世的他。

布爾巴基的數學觀與現代數學三大學派之一的 形式主義學派 相一致，他們是德國人希爾伯特的門徒，而不是法國人龐加萊的接棒者。 公理體系與抽象的結構主義 是他們幾十年如一日揮舞的兩面旗幟。他們信奉的是：數學的統一性，公理方法，以及結構的研究。這在他們於1947年以尼古拉·布爾巴基姓名標示的文章【數學的結構】中有進一步的闡述。他們所撰的數學書，將現代純粹數學大廈的中央大廳、磚瓦結構、門窗走廊、天花板面、懸梁屋檐等建築要素一一展示，有機結合，極富數學建築之美。精工細作的寫作態度使得幾乎每本都是登峰造極之作，再加上出版商的通力合作，在數學家與出版社直到七十年代為止的蜜月期間，【數學原本】各卷出版後的銷售蒸蒸日上，不僅眾多的數學工作者購買，而且全世界的圖書館也要館藏一本，在很長一段時間內成了出版社的主要利潤來源。

然而，如果以為布爾巴基的主要成就僅僅只是十來種30多卷的大書，那就大錯特錯了。布爾巴基的成員，無論是奠基者還是中生代，甚至年輕一代，許多都是頂級的數學家，其中名氣最大的大概就是韋伊了，他是上個世紀全世界幾個最偉大的數學家之一，在代數數論和代數幾何領域的深刻工作影響深遠。同是奠基者的迪厄多內，是這個數學圈子的主要寫手，一生在多個領域勤奮耕作，著作等身，晚年還寫出泛函分析等學科的數學史。他自己的一本書【現代分析基礎】( Foundations of Modern Analysis )，七十年代末被南京大學數學系選為研究生的教材，而那時我班兩位醉心純粹數學的同學——田剛和王宏玉——則旁聽了這門課，按照授課老師之一的蘇維宜教授所述，他們兩人的考試成績全班最高。可見布爾巴基及其成員對遠在東方的年輕學子也產生了持續終生的影響。

幾乎所有的法國費爾茲獎獲得者都是布爾巴基後來的成員，如施瓦爾茲 (Laurent Schwartz，1915-2002) 、塞爾 (Jean-Pierre Serre，1926-) 、格羅騰迪克以及英年早逝的動力系統大家約科茲 (Jean-Cristophe Yaccoz，1957-2016) 。在碎形領域做出傑出貢獻的德奧迪 (Adrien Douady，1925-2006) 也在其中。早期的成員中，唯一的外國人艾倫伯格 (Samuel Eilenberg，1913-1998) 來自波蘭，後來長期在美國。他和美國數學家麥克雷恩 (Saunders MacLane，1909-2005) 創造的範疇論，現在是理論物理學界炙手可熱的數學工具。

布爾巴基不僅以它的數學與寫作影響了全世界，風行了幾十年，而且創造了一些數學概念和符號，其中許多「一夜成名」，比如原創法文的filtre和英文轉譯filter。最有名的例子就是空集的符號Ø，它由韋伊所獨創。現已廣泛使用的三個函式術語「單射」 (injection) 、「滿射」 (surjection) 及「對射」 (bijection) ，也是布爾巴基的發明。

作為數學家群體的布爾巴基，其影響力也進入了藝術界，對結構主義的藝術流派有一定的影響。但是，它對初等數學教育的影響卻導致了七十年代轟轟烈烈的「新數學」運動的誕生。「 新數學 」要打倒歐幾裏得，要把「集合論」請進中小學的課堂。然而，這個影響卻是負面的，因為「新數學」的實踐結果幾乎是一場災難。旅居美國在約翰斯·霍普金斯大學教書的日本數學家小平邦彥 (1915-1997) 目睹自己的女兒成了這場試驗的犧牲品，在他的【惰者集】一書中對「新數學」大加鞭撻！

從歷史的角度看，布爾巴基對整個數學貢獻巨大，影響了幾代數學家。但是，它的數學觀和哲學思想也一直飽受批評。其中最激烈的討伐者大概非俄羅斯數學家艾諾特 (Vladimir Arnold，1937-2010) 莫屬。就數學哲學而言，艾諾特是龐加萊的信徒，而不是希爾伯特的粉絲，當然這不妨礙他解決了後者的「23個問題」中的一個。這位柯爾莫哥洛夫的傑出弟子個性獨特，言語鋒利，批評起來不留情面。我在他的一篇文章中讀到，他面試一位求職的法國數學家，後者的專業是線性代數，卻答不出「二次型xy的符號差為幾」這個簡單問題。這名法國教授也許讀了太多的布爾巴基著作，過分重視「一般性」而忽略了「具體性」，而這正是艾諾特所最反對的。艾諾特大概最欣賞一句名言——「藝術源於生活，但高於生活」。 他認為數學是現實世界的反映，而不是先有數學結構再將之套用到現實世界中去 。他自己的一句名言是：「數學是物理的一部份。」

這也從另一個方面驗證了布爾巴基的缺陷：太註重純粹數學而忽視套用數學，比如現在特別熱門的統計學就不在他們撰著的考慮範圍之內。這也是許多數學家批評的另一方面。具有諷刺意義的是，布爾巴基最年長的創始人芒德布羅伊的侄子芒德布羅，卻是反對布爾巴基的急先鋒。30歲不到時，他甚至逃離祖國而去了美國，六十年代在那裏開創了布爾巴基大概不甚欣賞的碎形幾何學。

今天，距離布爾巴基第一次工作會議的日子已經過去85年了。它的成長史和興衰史，它對世界數學的不朽功勛和消極影響，都對中國數學界有啟示作用。 現代數學的發展和套用，應該是牛頓-龐加萊與哈代-希爾伯特的對立統一，應該是具體與抽象的相輔相成，應該是套用與理論的有機結合 。這大概是中國數學努力趕超世界先進水平的一條可行之路吧。

寫於2019年12月10日

布爾巴基學派首次會議的85周年紀念日