严谨的答案是：还没有定论
按理说这个问题就算是答完了。不过很有趣的是，现有的几个答案恰好是之前学界对尼安德特人灭绝的几个主流假说，又在这几年随着相关研究的深入不断被推翻了。我觉得可以展开谈一下目前对尼安德特人灭绝假说的研究到了什么程度。
题主
@安森垚本身就是这方面很有研究的大牛，我这个答案可能不太会满足题主的需求。我权当是抛砖引玉，希望有这个研究领域的知友们提供更好的答案，也希望题主谅解。
我们都知道，目前世界上的所有人类，都是智人。而在人类的进化史上，还有许多其他人科的物种，除了咱们智人之外，还有尼安德特人、丹尼索瓦人、以及生活在咱们中国的北京猿人等等。他们和咱们同根同源，但是在不同的阶段分离出来，成为不同的人。
尼安德特人大概80万年前和智人分道扬镳。这个时间是怎么推算出来的呢？其实是通过DNA的研究，发现在80万年之前智人和尼安德特人都失去了一些DNA，这些DNA的缺失导致智人和尼安德特人都失去了面部的毛发，也没了阴茎刺（就是猫咪和狗狗JJ上的那些小刺或者倒钩，用来勾住雌性避免她逃脱，同时加大对阴茎的刺激程度，促使快速射精），这说明80万年之前智人和尼安德特人还是没分开的；但是之后二者的基因就有了一些差异，而且越来越大。这就可以大致推断出智人和尼安德特人分道扬镳的时间。
大概在40万年前，尼安德特人率先离开了非洲大陆，迁徙到了今天西欧一带。他们鼻孔粗大，呼吸道可以充分的加热冷空气，脂肪代谢的效率也比咱们智人高的多，这都让他们很好的适应了当时欧洲寒冷的气候；他们骨骼粗大，肌肉强壮，抗打击能力强，这让他们可以捕猎大型的野生动物（甚至是猛犸象）。种种优势使得他们不仅在西欧繁衍生息，还不断地向各个方向扩张，甚至一度到达了西伯利亚的西端。
尼安德特人的分布区域假想图。英吉利海峡也在分布范围之内，是因为在冰期海峡是裸露出来的
如此看来，尼安德特人其实是个成功的人种，但在欧洲繁衍了几十万年之后，大约3.5万年之前，尼安德特人的生活范围却开始快速缩小，大部分龟缩到了法国南部和西班牙、葡萄牙一带，还有一小部分退缩到了乌拉尔山，最终在3万年之前消失了。值得注意的是，距今3.5万年前，正是智人来到欧洲的时间。由此我们很难不得出一个结论—— 尼安德特人的消失，与智人有脱不开的干系 。
而具体是智人产生的何种影响导致了尼安德特人消失，却成了一个千古谜题。
一开始有一种学说认为，尼安德特人的智商低下，无法制造先进的工具以及武器，在与智人的竞争中处处都在下风（这个学说假设尼安德特人和智人发生了很尖锐的冲突） 。但越来越多的尼安德特人头骨被发掘出来，经过测算，他们的脑容量居然有1200-1700ML，而智人的脑容量是1400-1600ML，也就是说，单从脑容量上来看，尼安德特人并不占下风，甚至可能还比现代人脑容量更大一点点，说他们是蠢死的，恐怕站不住脚。而且，考古发掘发现了尼安德特人制造的石器，还发现他们会制造饰品，会纹身，也发现了他们有明显的使用火的痕迹，从工具的角度，也不能认为尼安德特人比智人落后很多。
后来又有一种学说认为，尼安德特人不会说话 ，没有语言就不能产生交流，也不能形成复杂的社会性，各个部族更是很少通婚，尼安德特长期处于小部族的阶段，无法快速扩张人口，又频繁的内部通婚，引发了不少的遗传疾病，最终导致了灭绝。但是近年来随着DNA研究的深入，发现尼安德特人同样有和智人一样的、对发展语言功能至关重要的几个基因突变，也就是说，尼安德特人很有可能是有语言的，这个学说也有漏洞（相关报道
Modern speech gene found in Neanderthals : Nature News）。
还有一个理论认为，尼安德特人的饮食结构害死了他们。 这个学说认为尼安德特人是纯肉食的人类，靠着捕猎大型动物过活，但是随着冰河时期结束，很多大型动物（比如猛犸象和大角鹿）不能适应气候变化而灭绝，同时智人的到来也加剧了野生动物的消耗量，尼安德特人无法捕获到足够的猎物，所以饿死了。但是，最近在西班牙发现的几个尼安德特人聚居点里，也发现了尼安德特人食用大量植物性食物的证据，所以这个学说也不是完全就能成立……
甚至还有激进的理论认为：尼安德特人没有灭绝，而是被智人逐步同化了。 但这个学说有个致命的缺陷：如果是这样，那同化也是需要一个漫长的过程，但目前的考古证据没有发现任何晚于距今3万年的尼安德特人骨骼和聚居点，也就是说，尼安德特人是在距今3万年左右的时间点突然就销声匿迹了的。
总之，目前对尼安德特人灭绝的研究还处在起步阶段，各方面的证据都不充足，谁也拿不出可以服众的说法。
但是，我们也不能说尼安德特人就完完全全的从历史上消失了。你，我，以及我们几乎所有人，身上其实都流着尼安德特人的血。还是通过DNA研究让我们发现了这个略感震惊的事实：除了撒哈拉南部非洲的原住民之外，其他所有人类体内都有1%—4%的尼安德特人血统。这可以表明，在智人刚刚走出非洲的时候，就和尼安德特人发生了许多通婚行为，在此之后，智人才又分别前往世界各地。这个时间点大概是6万年前，通婚的地点大概是在中东地区。
这一点很有趣。尼安德特人和咱们智人虽然同根同源，但是很早就分开并且独立的进化，是完全不同的两个物种，但他们却没有出现生殖隔离，而是诞下了完全正常的后代（也就是我们）。这该怎么解释呢？其实，是否有生殖隔离，只是定义是否是单独物种的一种方式，在自然界中，偶尔也会有不同种的生物杂交并生下可以繁殖的后代，比如 野牛和原牛（后代是皮弗洛牛） 、 豹猫和斑猫（后代是孟加拉猫） 、 水稻和竹子（后代是竹稻） ， 枸橼和橙子（后代是柠檬） ，它们不仅体质特征不同，甚至连染色体数量都不一样，却可以完全正常的交配和产下正常的后代。我们可以认为，咱们智人和尼安德特人虽然是两个单独物种，但血缘上的差异还不是特别大，所以才有了互相杂交的可能性。而除了尼安德特人之外，咱们智人身上其实还有丹尼索瓦人以及其他人种的血统。（谢谢
@王楠指出）
更有意思的是，虽然全球人类（除了撒哈拉南部的非洲黑人）身上的尼安德特人的血统都差不多，但欧洲人好像遗传了更多的尼安德特人特征，最典型的就是白种人有更高的脂肪转换率，也就是更抗冻，这是尼安德特人的一个显著特征。
有人认为是欧洲的早期智人和尼安德特人发生了更多的通婚，可目前无法解释的是，如果真是如此，白种人身上的尼安德特人血统应该更多，但实际上他们的尼安德特人血统和其他智人都差不多。
也有人认为这是趋同进化的结果，但是这个说法也有两个难点需要克服：其一，如果是趋同进化，生活在高原高寒高纬度地带的黄种人为什么没有产生这种进化？其二，如果是趋同进化，为什么温暖的西班牙和法国南部的智人反而比生活在寒冷的北欧的智人更为耐寒？（尤其值得关注的是，尼安德特人的最后生存地就是西班牙和法国南部）。
世界各地智人与尼安德特人血缘关系图。蓝色条代表的是智人与尼安德特人的血统相似程度，可以看到除了非洲人之外，世界各地人们都差不多。橘红色条代表的是智人与尼安德特人的脂肪转化率（抗冻能力）相似程度，可以明显的看到白人的相似程度更高。
所以说，尼安德特人到底是怎么消亡的，甚至是否已经消亡，他们和我们的祖先有什么爱恨情仇，又是怎么塑造了我们现代人，都还没有定论。幸好这是一个很热门的研究方向，希望在不久的将来，我们可以搞清楚咱们这个外戚的更多故事。
PS：
算上这一篇差不多有7、8篇回答的下边有人提到过像托福的听力了……我好想去应聘托福的听力出题老师啊
可是我也是醉……因为我的英语……从小学六年级上半学期期中考试之后……就再也没有及格过……你们还用托福伤害我，嘤嘤嘤
