本征函数集的完备性怎么证明？

2020-07-10

Sturm -Liouville theorem 是个涉及偏微分方程的问题，通常包含一些边界条件，如像振动的弦必须在端点固定这样的条件。 当分离变量法应用于偏微分方程时，这方程就分解为两个或多个常微分方程，而加在所求解上的边界条件就变成一个常微分方程的边界条件 。一般说来这常微分方程包含一个参数，事实上它是从「变量分离」的过程中得来的，而给参数赋以特殊值，通常可得到方程的解。这些值叫「特征值」或「本征值， eigenvalue 」，而相应于任一特征值的解叫「特征函数」。此外，为了适合起先的条件或原问题的条件，必须把给定的函数 f(x) 用特征函数表示出来。

确定带边界条件的一个常微分方程的特征值和特征函数的问题，以及把给定的函数展为特征函数的无穷级数的问题，随着新坐标系的引入和新的函数类像 Bessel function、Legendre polynomials 等作为常微分方程的特征函数而兴起，就变得更为突出了。巴黎大学理学院力学教授 Sturm, J. Charles-François 和法兰西学院的数学教授 Joseph Liouville ，这两人决定着手钻研任何二阶常微分方程的一般问题。 Sturm 从 1833 年起就已经从事研究偏微分方程的问题，最初是从事变密度棒中热流问题的研究，所以他是完全知道特征值和特征函数的问题的。 他应用于这个问题上的数学思想是与他对代数方程的根的实性和分布的研究密切联系着的。他说，他关于微分方程的思想是从差分方程的研究并过渡到极限而得来的 。

Sturm 告诉 Liouville 他正在研究的问题后， Liouville 也研究起同一课题来了，这两人的几篇论文中的结果是十分详尽的，可用近代的记号最方便地概述如下：他们考虑一般的二阶方程

Ly"+My'+λNy=0

其中， L、M、N 是 x 的连续函数， L 不为零， λ 是参数。遍乘以 L^{-1}e^{\int_{}^{}ML^{-1}dx} 后，方程可以改成：

\frac{d}{dx}[p(x)\frac{dy}{dx}]+\lambda\rho(x)y=0, p(x)>0,\rho(x)>0

原方程和变换后的方程所应满足的边界条件可以有一般形式：

y'(a)-h_1y(a)=0

y'(b)+h_2y(b)=0

h_1\geq0, h_2\geq0,a<b

Sturm 和 Liouville 证明了下列基本结果：

(a). 仅当 λ 取递增到 ∞ 的正数序列 λn 的任一值时，这问题才有非零解。

(b). 对每一 λn ，解是一函数 vn 的倍数，而 vn 可以用条件 \int_{a}^{b}\rho v_n^2dx=1 加以规范化。

(c). 成立正交性质 \int_{a}^{b} \rho v_mv_ndx=0,m\ne n 。

(d). 每个在区间 (a, b) 上二次可微的、满足边界条件的函数 f 可以展为一致收敛的级数

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{c_nv_n(x)}

其中， c_n=\int_{a}^{b}\rho fv_n(x)dx

(e). 等式 \int_{a}^{b}\rho f^2dx=\sum_{n=1}^{\infty}{c_n^2}

普遍成立。这最后的等式叫做 Parseval's equality ，已由 Marc-Antoine Parseval 在 1799 年纯形式地对三角函数集证明过了。随之而来的是 Pierre Bézier 在 1828 年证明的（还是关于三角级数的）不等式，即

\sum_{n=1}^{\infty}{c_n^2\leq\int_{a}^{b}|f(x)|^2dx}

实在说，Sturm-Liouville theorem 的结果并不是在所有方面都令人满意的，f(x)可以表示为特征函数的无穷和的证明是不充分的 。一个困难是关于特征函数集的完全性的事实，对 (a, b) 上的连续函数 f(x) ，这就是上面的条件 (e) ，粗糙地看，这意味着特征函数集大得足以表示「任何」函数 f(x) 。另外，虽然 Liouville 用 Cauchy, Augustin Louis 和 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 发展的理论确实给出了某种情形下 \sum_{}^{}{c_nv_n(x)} 收敛到 f(x) 的证明，但是级数 \sum_{}^{}{c_nv_n(x)} 是在何种意义下收敛到 f(x) 的问题，是逐点收敛、一致收敛还是在某种更一般意义下的收敛，还没有包括进去。

至于完备性怎么证明？及完备性的限制与界定，请参考附件文章的内容！

Ref.:

1). 厄米算符本征函数完备性的一般证明，大学物理， 2012, 31(9): 16-19 .

2). 量子力学中厄米算符本征矢完备性的限制和界定，科技创新导报， 2012, 34: 84-85 .

3).