科举是套体系，历经百年演变，多少帝王费尽心血研制出的统治手段而已。数学有利于统治吗？
科举考试不是中高考，而是中高级官员选拔考试，对那个层级的人来说数学没那么重要，需要干活还怕找不到账房先生么。国家层面上需要数学的专业岗位，比如钦天监，肯定是要考数学的。古代数学是和天文历法高度绑定的，随着皇权的加强自然不再随便放开。明清把数学定义为是阴阳学，算学，天文学，这方面的文章很多，不难搜。以明代的阴阳学为例，修习阴阳学的人被称为阴阳人，有明文固定，阴阳人不能参加科举。从政策上牢牢限制数学专业人才的政治前景，也就是说不仅仅是科举不考数学，而是专业学数学的人不能参加科举。
而且绝大多数朝代的钦天监都是家族传承的，由某一家族一直打理到朝代灭亡。家族传承，不存在考试一说。因为关系到「天命」这个很重要的东西，历代是禁止民间私自学习和研究天文学的。一直到清朝，西方传教士带来了当时欧洲的天文学和数学，清朝的钦天监主要任用西方传教士及其学生。具体可以看江晓原的【天学真原】。
说实话，对于古代、甚至现代大多数应用场景这些就够了。提问者说的这些严格来说都还没进入数学的领域，算是应用数学吧。
什么是数学，数学是搭建一个严谨的、自洽的框架，我们古代的数学基本就算是发现了一些计算方法，算不上搭建框架。那什么是数学呢？比如研究1+1为什么等于2，这个整出了皮亚诺公理；为什么根号2是无理数，由此引入无理数的概念；极限的严格定义为什么要用到存在一个数比任意数列中的数大或者？这些才是数学要研究的东西。我说出来，可能很多人又觉得没用了，但这些才是搭建数学这个框架真正需要的东西。
中国古代数学在算法上其实走的是很远的，就是缺了『几何原本』，不是具体内容，而是其中的思想。包括物理方面也是。现代物理，从伽利略牛顿那里，其实就是公理化（物理定律）加实验（假说演绎）。数学也是依托公理化，所以一下子就大爆发了，短短时间内就走的很高深，很抽象，很严谨。固明末徐光启意识到了这点，翻译『几何原本』，并给予极高的评价: 「似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难.易生于简，简生于明，综其妙在明而已.」
