令人血压升高的群论错误使用方法都有什么？

1. 所有子群都正规的群不一定是阿贝尔群

我们知道任意阿贝尔群的所有子群都是正规子群, 但是反之则不然: 最小的反例是四元数群 (\text{quaternion group} ) \mathbf{Q}_8 .

如果一个群的所有子群都正规, 那么这个群被称为 戴德金群 (\text{Dedekind group} ) , 特别地, 如果这个群是非交换群则被称为哈密顿群 (\text{Hamiltonian group} ) . 所有阿贝尔群都是戴德金群, 而对于任意非交换群 G , 其必同构于

\mathbf{Q}_8\times\mathbf{E}_{2^n}\times T\ ,\\

其中初等阿贝尔 2 -群 (\text{elementary abelian 2-group} ) \mathbf{E}_{2^n}=(Z_2)^n 为 n 个 2 阶循环群的直和, T 为一个所有元素都为奇数阶的挠群 (\text{torsion group} ) , T 不一定是有限群但是 T 中的每个元素阶都有限.

参考: \text{M.Hall} 的 \text{The Theory for Groups} 中第 190 到 192 页.

2. 什么时候群同构于其商群和子群的直积

初学时很容易想当然 G\cong (G/N)\times N 对于 G 的所有正规子群成立. 事实上并非如此.

在学了有限生成阿贝尔群基本定理后, 可能会以为上述等式对有限阿贝尔群成立. 不过我们很容易找到反例:

(Z_{p^2}/Z_p)\times Z_p\cong Z_p\times Z_p=\mathbf{E}_{p^2}\not\cong Z_{p^2}\ .\\

而利用有限阿贝尔群的初等因子分解, 可以直观地得到: 如果 N 是 G 的一个初等因子, 则 G\cong (G/N)\times N .

如果限制 G 是幂零群且 N 是其 \text{Sylow} p -子群, 那么也有 G\cong (G/N)\times N . 这是因为幂零群同构于其所有 \text{Sylow} p -子群的直积:

G_{\text{nil}}\cong \prod_{\mathbf{Syl}_{p_i}(G)=\{P_i\}} P_i\ .\\

更一般地, 如果 G\cong (G/N)\times N , 则称 N 为 G 的一个直因子 (\text{direct factor} ) , 而且 G 是 (G/N) 和 N 的平凡扩张 (\text{trivial extension} ) .

3. G/H₁ ≌ G/H₂ 不能推出 H₁ ≌ H₂

\left.\begin{cases} \begin{aligned} \mathbf{Q}_8/\mathbf{K}_4&\cong\mathbf{Q}_8/Z_4 \\\mathbf{K}_4&\not\cong Z_4 \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

其中 \mathbf{K}_4\cong Z_2\times Z_2 是克莱因 4 -群 (\text{Klein }4\text{-group} ) .

4. H₁ ≌ H₂ 不能推出 G/H₁ ≌ G/H₂

\left.\begin{cases} \begin{aligned} 2\mathbb{Z}&\cong3\mathbb{Z} \\\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\not\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{aligned} \end{cases}\right\}\ .\\

\left.\begin{cases} \begin{aligned} \left<r^2\right>\cong\ &Z_2\cong\langle s\rangle \\\mathbf{D}_8/\langle r^2\rangle\cong\mathbf{K}_4&\not\cong Z_4\cong\mathbf{D}_8/\langle s\rangle \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

其中 \mathbf{D}_n=\left<r,s\ \big|\ s^2=r^n=1,srs^{-1}=r^{-1}\right> 是阶为 n 的二面体群.

5. |Aut(S₆)/Inn(S₆)|=2

对于 n\geq3 且 n\ne6 , \mathbf{Aut}(\mathbf{S}_n)=\mathbf{Inn}(\mathbf{S}_n)=\mathbf{S}_n , 其中 \mathbf{S}_n 为 n 级对称群, \mathbf{Aut}(G) 为 G 的自同构群, \mathbf{Inn}(G) 为 G 的内自同构群.

6. 换位子群和所有换位子的集合

群 G 的所有换位子构成的集合 \{\ [x,y]\ |\ x,y\in G\ \} 不一定是换位子群 (也叫导群) G'=\langle\ [x,y]\ |\ x,y\in G\ \rangle . 群阶最小的反例为 96 阶群:

(\mathbf{Q}_8\times\mathbf{K}_4)\rtimes_{\varphi} Z_3=(\langle i,j\rangle\times\langle a,b\rangle)\rtimes_{\varphi}\langle y\rangle\ ,\\

具体群作用为:

\left.\begin{cases} \begin{aligned} y\cdot i&=j \\y\cdot j&=k \\y\cdot a&=b \\y\cdot b&=c \end{aligned} \end{cases}\right\}\ ,\\

群 G 中不存在换位子 [x,y] 使得 [x,y]=\big((-1,a),1\big) , 但是 \big((-1,a),1\big)\in G' , 即 \big((-1,a),1\big) 在所有换位子生成 (\text{generated} ) 的群中.

7. 确定群中每一个元素的阶不能确定群的结构

设 |G_1|=|G_2|=n , 且对于 n 的每个因子 k , G_1 和 G_2 中的 k 阶元个数都相同, 但 G_1 和 G_2 不一定同构.

详见: 对所有的k，k阶元个数都相同的两个同阶的有限群是否一定同构？ - 知乎

8. 正规化子,中心化子,中心

内容很杂容易记混, 下面总结一下.

取 H 为 G 的一个子群, 记 \mathbf{C}_G(H) 为 H 在 G 中的中心化子, 记 \mathbf{N}_G(H) 为 H 在 G 中的正规化子, 记 \mathbf{Z}(G) 为 G 的中心, 取 g\in G 为任一元素, 取 A 为 G 的一个子集.

\left.\begin{cases}g\mathbf{C}_G(H)g^{-1}=\mathbf{C}_G(gHg^{-1})\\g\mathbf{N}_G(H)g^{-1}=\mathbf{N}_G(gHg^{-1})\end{cases}\right\}\ .

H\leqslant\mathbf{C}_G(H) 当且仅当 H 是阿贝尔群.

H\unlhd G 时有 \mathbf{C}_G(H)\unlhd G .

\mathbf{C}_G(g)=\mathbf{C}_G\big(\langle g\rangle\big)=\mathbf{N}_G(g)\leq\mathbf{N}_G\big(\langle g\rangle\big) .

\mathbf{Z}(G)\leqslant\mathbf{C}_G(A)\leqslant\mathbf{N}_G(A)\leqslant G .

\text{N/C} 定理: \mathbf{N}_G(H)/\mathbf{C}_G(H)\cong\,\leqslant\mathbf{Aut}(H) .

G/\mathbf{Z}(G)\cong\mathbf{Inn}(G) .

9. G₁×G₂ 的子群不一定是 H₁×H₂

最开始一直以为直积 G_1\times G_2 的子群一定是每个分量的子群的直积 H_1\times H_2 , 直到想起 \mathbf{K}_4=\langle a\rangle\times\langle b\rangle=\{1,a,b,ab\} 的子群 \langle ab\rangle 不能那样表示.

不过对于 G=G_1\times G_2 的子群 H , 取投射:

\left.\begin{cases} \pi_1:H\to G_1 \\\pi_2:H\to G_2 \end{cases}\right\}\ ,\\ \left.\begin{cases} \pi_1:(h_1,h_2)\mapsto h_1 \\\pi_2:(h_1,h_2)\mapsto h_2 \end{cases}\right\}\ ,\\

则 \pi_1(G),\pi_2(G) 分别是 G_1,G_2 的子群.

10. 循环群的乘法群的具体结构

我们知道 \mathbf{Aut}(Z_n)\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} 且 \big|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\big|=\varphi(n) , 其中 \varphi(n) 为 \text{Euler} \varphi -函数.

初学时我便默认 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{\varphi(n)} , 直到后面算 (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} 才发现问题.

在 n\geqslant3 时, (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 有两个 2 阶元: (2^n-1) 和 (2^{n-1}-1) . 同时我们可以用反证法证明: 如果 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 是循环群, 那么它只有唯一一个 2 阶元, 导出矛盾, 所以 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 并非循环群. 实际上, 在 n\geqslant3 时, 有:

(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{2^{n-2}}\times Z_2\ ,\\

而且 5 是 (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^{\times} 中的一个 2^{n-2} 阶元.

而对于任意奇素数 p , 有:

(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}\cong Z_{p^{n-1}(p-1)}\cong Z_{p^{n-1}}\times Z_{p-1}\ ,\\

而且 (1+p) 是 (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times} 中的一个 p^{n-1} 阶元.

最后, 如果 n 的素因子乘积分解为 n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i} , 则有:

(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\cong\prod_{i=1}^k \left(\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\right)^{\times}\ .\\

11. 群展示结合群阶证明群同构

群展示 (\text{group presentation} ) 利用群的生成元 (\text{generator} ) 和关系 (\text{relation} ) 给出了一种简洁明了的描述一个具体的群的方式.

现在已知有限群 G 的群展示为:

G=\langle\ g_1,\dots,g_m\ |\ r_1=\cdots=r_n=1\ \rangle\ ,\\

如果我们要证明另一个群 H 与 G 是同构的的话, 那么我们可以先证明 |G|=|H| , 再找出 H 的生成元并验证它们是否满足生成元之间的关系.

注意, 验证过程中验证 |G|=|H| 是必要的, 因为群展示是由指定的生成元和关系所生成的 「 最大 」 的群. 举个例子, 循环群 Z_4 有群展示:

Z_4=\left<\ x\ \left|\ x^4=1\ \right>\right.\ ,\\

而循环群 Z_2 也只有一个生成元且同样满足关系 x^4=1 , 但 Z_2\not\cong Z_4 .

12. 群的自同构和域的自同构

群的自同构只保持了一种运算的同态, 而域的自同构保持了加法同态和乘法同态:

\sigma\in\mathbf{Aut}(F_{\text{field}}):\left.\begin{cases} \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)\\\sigma(a\cdot b)=\sigma(a)\cdot\sigma(b) \end{cases}\right\}\text{ for all }a,b\in F\ .\\

举个例子:

\begin{aligned} &\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^{\times} \\\cong&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \\=&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{F}_p^+) \\\not\cong&\,\mathbf{Aut}(\mathbb{F}_p) \\\cong&\,1\ . \end{aligned}\\

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