事實上，可借助於三向量叉積公式
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})
如果是物理，比如電動力學遇到這種，上面的公式非常實用。具體如下：
\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=\nabla_A\times(\vec{A}\times\vec{B})+\nabla_B\times(\vec{A}\times\vec{B})
因為微分算符要麽作用在A，要麽作用在B，這裏用下標AB區分。
進一步化簡得到：
\nabla_A\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot \vec{A})
註意 \nabla_A 只能作用在A上，因此 \vec{A}(\vec{B}\cdot \nabla_A) 最後變成 (\vec{B}\cdot \nabla)\vec{A} ,這裏微分只可能作用在A上了，因此去掉下標。
同理對 \nabla_B 進行同樣處理，最後得到
\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot\vec{A})+\vec{A}(\nabla\cdot\vec{B})-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}
以下從數學上進行討論。
事實上借助高等數學知識即可，但是如果借助張量運算則更為簡單。先回歸下高數知識。
設兩向量場為 \vec{A}=a_i\mathbf{e}_i, \quad \vec{B}=b_j\mathbf{e}_j ,則其叉乘結果可形式化表示為
\vec{A}\times\vec{B}=\left |\begin{array}{cccc} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right | = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{e}_1+(a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{e}_2+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e}_3
同時對向量的旋度可表示為
\nabla\times \vec{A}=\left |\begin{array}{cccc} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ \frac{\partial}{\partial r_1} & \frac{\partial}{\partial r_2} &\frac{\partial}{\partial r_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{array}\right |
這裏未使用一般高數教材的表示( i, j, k, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} )，而是使用了下標的方式，目的是為了之後的張量計算。將下標 1, 2, 3 替換為 i, j, k ， r_1, r_2, r_3 替換為 x, y, z 即可得到與一般高數教材一致的結果。但回答的重點不在於僅僅使用高數知識進行推導，因為整合兩步計算可能略顯復雜。因此以下用張量運算進行重新計算。
借助上面向量場的表示，則叉乘可簡單表述為
\vec{A}\times \vec{B}=(a_i\mathbf{e}_i)\times(b_j\mathbf{e}_j)=\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k
其中 \epsilon_{ijk} 為全反對稱張量，也有稱作Eddington張量
旋度計算可類似表述為
\nabla\times \vec{A}=(\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial r_i})\times(a_j\mathbf{e}_j)=\epsilon_{ijk}\frac{\partial a_j}{\partial r_i}\mathbf{e}_k
則得到以下結果
\begin{align}\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})&=\nabla\times(\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k)=(\mathbf{e}_l\frac{\partial}{\partial r_l})\times(\epsilon_{ijk}a_ib_j\mathbf{e}_k) \\ &= \epsilon_{lkr}\frac{\partial(\epsilon_{ijk}a_ib_j)}{\partial r_l}\mathbf{e}_r \\ &=\epsilon_{lkr}\epsilon_{ijk}\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_l}\mathbf{e}_r \end{align}
對Eddington張量，有結果 \epsilon_{pqk}\epsilon_{ijk}=(\delta_{pi}\delta_{qj}-\delta_{pj}\delta_{qi}) ，其中 \delta_{ij} 為Kronecker符號，即 \delta_{ij}=0(i\neq j), \ \delta_{ii}=1
於是上式可化簡為
\begin{align}(\delta_{ri}\delta_{lj}-\delta_{rj}\delta_{li})\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_l}\mathbf{e}_r &= \frac{\partial a_ib_j}{\partial r_j}\mathbf{e}_i-\frac{\partial a_ib_j}{\partial r_i}\mathbf{e}_j \\ &=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i \end{align}
即 \nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i ，比如計算下 \mathbf{e}_1(i=1) 分量為
\frac{\partial(a_1b_j-a_jb_1)}{\partial r_j}=\frac{\partial(a_1b_2-a_2b_1)}{\partial r_2}+\frac{\partial(a_1b_3-a_3b_1)}{\partial r_3} ，這與高數得到的結果一致。
再進一步，借用分部微分將結果化簡
\begin{align} \nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})&=\frac{\partial(a_ib_j-a_jb_i)}{\partial r_j}\mathbf{e}_i \\ &=a_i\mathbf{e}_i(\frac{\partial b_j}{\partial r_j})+(b_j\frac{\partial}{\partial r_j})(a_i\mathbf{e}_i)-b_i\mathbf{e}_i(\frac{\partial a_j}{\partial r_j})-(a_j\frac{\partial}{\partial r_j})(b_i\mathbf{e}_i) \\ &= \vec{A}(\nabla\cdot\vec{B})+(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot \vec{A})-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} \end{align}
這就證明了上面的公式
