老師說鏈式法則裏某個 dy/dx 不能理解為 dy 除以 dx，為什麽？

這事兒剛開始是比較不好理解。

這事兒得從這位大佬開始講起：

萊布尼茨的發明

我們知道導數是這樣定義的：

f^\prime(x) =\lim_{h\to0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

但在數學大佬的眼裏，這玩意不 美觀 啊！！在許多時候，數學家眼裏 美=簡潔 。但這式子不簡潔。

從導數的定義上看它不可避免的問題就是要求 商 ，但無奈又不能把極限分別寫進分子和分母裏去！於是Leibniz就想出了這麽個玩意：

\frac{dy}{dx} ，並解釋道：它是" 由 x 的變化而引起的 y 的無窮變化量 "( dy )與「 x 的無窮小變化量 」(dx) 的 商 。那麽用這個記法就可以很好地體現出導數定義裏 商 的形式了。

上述解釋的關鍵在於： dy 必須是因 x 改變了 dx 而引起的變化，這個記號才有意義

轉譯幾下就是： dy 不能獨立於 x 而變化！

反例其實很好找：

y^\prime(x)\cdot z^\prime(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{y(x+h) -y(x)}{h} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{z(t+h) -z(t)}{h} =\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt}

此時 dy 是和 t 無關的， dz 是和 x 無關的。

因此如果寫成這樣就肯定錯了：

\xcancel{\color{red}{\frac{dy}{dx }\cdot\frac{dz}{dt} = \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx} }}

反過來，如果滿足我們上述的條件，那麽實際上它是可以作為「商」來處理的

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\quad\frac{dy}{dx}\quad}

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\;\frac{du}{dx}

比如我們令 x=x(t) ，

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du}\;\frac{du}{dx}\;\color{red}{\frac{dx}{dt}}

甚至於：

y = f_1\circ f_2\circ \cdots\circ f_n(x)

我們可以這樣處理：

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{\color{Red} {df_n} }\frac{\color{Red}{ df_n} }{dx}

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{\color{Red}{ df_{n-1}} }\;\frac{\color{Red}{ df_{n-1}} }{\color{Blue}{ df_{n}} }\;\frac{\color{Blue}{ df_n} }{dx}

\vdots

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df_1}\;\frac{df_1}{df_2}\cdots\frac{df_n}{dx}

這個過程中，我們就可以看成不斷地同時「乘」、「除」 df_k ，因為每一步的添加項都 沒有破壞分子是因其自變量改變而產生的無窮小量這一條件 。

\left \{ \begin{align*} x = x(t)\\ y = y(t) \end{align*} \right.

\frac{dy}{dx}={\left ( \frac{dy}{\color{Red}{ dt} } \right ) \Big/ \left ( \frac{dx}{\color{Red}{ dt}} \right ) }

其反函數類似：

\frac{dx}{dy}={\left ( \frac{dx}{\color{Red}{ dt} } \right ) \Big/ \left ( \frac{dy}{\color{Red}{ dt}} \right ) }

這裏與復合函數鏈式法則完全相同， 由於 dx,dy 都是由 t 的變化而產生的無窮小量 ，因此仍然可以同時「乘」、「除」 dt 。

鳴謝：