請問星體塌縮成黑洞前的臨界密度是多少?

對黑洞有一個比較典型的誤解就是：必須要把物質壓縮到某個極端大的密度才能形成黑洞。但事實上並不是這樣的。我們來看下面的例題。

假設黑洞密度在 0 ≤ r ≤ r_S （ r_S 為史瓦西半徑）內均等分布，計算下面兩個問題。

1）求質素為1個太陽（1 M⊙）的黑洞密度。為達成這個密度，需要把地球壓縮到半徑為多少。

2）將密度為 1g\cdot cm^{-3} 的水做成黑洞的話，史瓦西半徑 r_{S} 等於多少。

解：

1）史瓦西半徑

r_{S}=2GM⊙/c^2\simeq 3km

1 M⊙的黑洞的「密度」為

\rho=\frac{M}{(4\pi/3)r_{S}^{3}} \simeq \frac{1M⊙}{(4\pi/3)\times(3km)^{3}}\simeq 2\times10^{16}g\cdot cm^{-3}

要達成該密度的話，只需將地球壓縮到以下半徑就行

R=\left[ \frac{M⊕}{(4\pi/3)\rho} \right]^{1/3}\simeq 40m

2）密度均等的前提下，

r_{S}\equiv\frac{2GM}{c^{2}}=\frac{2G}{c^2}\cdot \frac{4}{3}\pi r_{S}^{3}\rho=\frac{8\pi G\rho}{3c^{2}}r_{S}^{3} , ∴r_{S}=\sqrt{\frac{3c^2}{8\pi G\rho}}

因此，當 \rho=1g\cdot cm^{-3} 時，

r_{S}=\sqrt{\frac{3\times(3\times 10^{10}cm\cdot s^{-1})^2}{8\pi \times(7\times 10^{-8}cm^{3}\cdot g^{-1}\cdot s^{-2})\times(1g \cdot cm^{-3})}}\simeq 4\times10^{13}cm\simeq 3au

這個半徑與太陽到小行星帶的距離相當。

也就是說，即使是水的密度，只要質素足夠大也能夠形成黑洞。比如我們銀河中心的黑洞人馬座A*（SgrA*）的「密度」：

\rho=\frac{M}{(4\pi/3)r_{S}^{3}} \simeq \frac{5\times 10^{6}M⊙}{(4\pi/3)\times (0.8 au)^3} \simeq 1g\cdot cm^{-3}\simeq\rho_{水}

透過以上論證可以看出，是否能夠形成黑洞，重要的不是密度，而是質素。

最後，我們回到題主在問題描述中寫的問題：中子星塌縮成黑洞前的臨界密度是多少?現在我們知道，我們真正需要問的不是「 臨界密度 」，而是「 臨界質素 」。於是我們嘗試來求解。

要使中子星塌縮為黑洞，臨界條件時半徑等於史瓦西半徑，即：

r=r_{S}=2GM/c^2\simeq 3.0(M/M⊙) km

典型的中子星半徑為10km左右 ^[1] ，而實際觀測的分布範圍可寬至8~15km。因此，我們可以大概求出一個臨界質素的範圍約為2.5~5M⊙。不過這個數值是很不精確的，因為對於中子星這種高密度天體來說，真正的臨界質素的求法並不是那麽簡單，需要透過核物質狀態方程式式（EOS）來對其解進行限制。根據EOS模型的不同求出來的解也各不相同。利用狀態方程式式對中子星半徑與質素進行限制的方法可以參考以下回答。

事實上，上述中子星的臨界質素有一個名稱叫做：托爾曼-歐本海默-沃爾科夫極限（TOV極限，Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit）。這個極限在最初在1939年被三人提出來時為0.7M⊙ ^{[2] [3]} ，這個值比白矮星的錢德拉塞卡極限（Chandrasekhar limit）1.44M⊙還要小，因此現在被認為是不正確的。1996年，這個值被認為應在1.5-3.0M⊙範圍內 ^[4] ，同年其他研究小組得出2.2-2.9M⊙的結果 ^[5] 。後來，在2017年LIGO對GW170817的觀測中，這個值又被覆寫為：2.17M⊙ ^{[6] [7] [8] [9]} 、2.37M☉ ^[10] 、最終在2019年確定為2.3M☉ ^[11] 。而在對PSR J2215+5135與PSR J0740+6620的觀測中分別得出了2.27M☉ ^[12] 與2.14M☉ ^[13] 的結果。另外，對於一顆做剛性轉動的中子星，質素極限被認為還會增加18-20% ^{[14] [9]} 。

下面這張被稱為「恒星墳場」（Stellar Graveyard）的質素分布圖應該更加直觀吧。圖中描繪的是到2020年5月16日為止所有由LIGO-Virgo觀測到的中子星（橙色）與黑洞（藍色）及部份由X線觀測到的中子星（黃色）與黑洞（紫色）。我們很容易就能看出，最重的中子星與最輕的黑洞之間存在著一個幾乎沒有被發現星體的斷層，這個斷層表示的質素範圍約在2.5~4M☉之間。

可以看到下圖中央處發亮的線，由中子星領域一直延伸至黑洞領域，並與一個小黑洞合體成為另一個小黑洞。這是2020年6月23日發表的一次由質素分別為25M☉與2.6M☉的天體合體形成黑洞並觀察到的重力波GW190814 ^[15] 。這個質素為2.6M☉的天體是什麽至今仍是一個迷。但無論是什麽，它都將創造歷史：如果是中子星，則是觀察史上最重的中子星，如果是黑洞，則是觀測史上最輕的黑洞。這對更精確限制TOV極限的範圍也會有很大的幫助。

參考

1. ^ Seeds, Michael; Backman, Dana (2009). Astronomy: The Solar System and Beyond (6th ed.). Cengage Learning. p. 339. ISBN 978-0-495-56203-0.
2. ^ Tolman, R. C. (1939). "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid" (PDF). Physical Review. 55 (4): 364–373. https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.364
3. ^ Oppenheimer, J. R.; Volkoff, G. M. (1939). "On Massive Neutron Cores". Physical Review. 55 (4): 374–381. https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.374
4. ^ Bombaci, I. (1996). "The Maximum Mass of a Neutron Star". Astronomy and Astrophysics. 305: 871–877. https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1996A&A...305..871B
5. ^ Kalogera, V; Baym, G (11 August 1996). "The Maximum Mass of a Neutron Star". The Astrophysical Journal. 470: L61–L64. https://doi.org/10.1086/310296
6. ^ Margalit, B.; Metzger, B. D. (2017-12-01). "Constraining the Maximum Mass of Neutron Stars from Multi-messenger Observations of GW170817". The Astrophysical Journal. 850 (2): L19. https://doi.org/10.3847/2041-8213/aa991c
7. ^ Shibata, M.; Fujibayashi, S.; Hotokezaka, K.; Kiuchi, K.; Kyutoku, K.; Sekiguchi, Y.; Tanaka, M. (2017-12-22). "Modeling GW170817 based on numerical relativity and its implications". Physical Review D. 96 (12): 123012. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.96.123012
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11. ^ Shibata, M.; Zhou, E.; Kiuchi, K.; Fujibayashi, S. (2019-07-26). "Constraint on the maximum mass of neutron stars using GW170817 event". Physical Review D. 100 (2): 023015. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.100.023015
12. ^ Linares, M.; Shahbaz, T.; Casares, J.; Grossan, Bruce (2018). "Peering into the Dark Side: Magnesium Lines Establish a Massive Neutron Star in PSR J2215+5135". The Astrophysical Journal. 859 (1): 54. https://doi.org/10.3847/1538-4357/aabde6
13. ^ Cromartie, H. T.; Fonseca, E.; Ransom, S. M.; et al. (2019). "Relativistic Shapiro delay measurements of an extremely massive millisecond pulsar". Nature Astronomy. 4: 72–76. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0880-2
14. ^ Cho, A. (16 February 2018). "A weight limit emerges for neutron stars". Science. 359 (6377): 724–725. https://science.sciencemag.org/content/359/6377/724
15. ^ R. Abbott. GW190814: Gravitational Waves from the Coalescence of a 23 Solar Mass Black Hole with a 2.6 Solar Mass Compact Object. ApJL, 896 L44(2020). https://doi.org/10.3847/2041-8213/ab960f