這個問題，要徹底理解需要從微分的定義出發（也並不難）。但理解了定義的就不再需要問這個問題，問這個問題的都是暫時沒理解定義的。
而且類似問題在數學中其實非常常見：現代數學雖然極端講究嚴謹，但數學家都是懶人，日常表達中經常會使用一些並不嚴謹或者過於簡略的notation，必須對相關領域和上下文有充分理解的人才能準確理解其意義。這樣其實對新手非常不友好。
最簡單的例子，當自變量「顯而易見」時，導數常被寫成 f'(\cdot) 的形式。而使用中，很多時候這個自變量指的什麽並不明確。或者說作者自己很清楚，讀者並不一定清楚。中學教材這類的東西因為被反復修改過，類似問題少一點，研究生階段各種教授給提綱PostDoc寫出來的講義裏面類似問題隨處可見。說白了就是人都懶，數學家也不例外。
回到 \frac{dy}{dx} 這個問題：
把 \frac{dy}{dx} = f'(x) 寫成 dy = f'(x)\cdot dx ，這種寫法非常不好。會讓人產生錯覺 \frac{dy}{dx} 是 dy \div dx 。再配合上比如chain rule寫成：
\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dz} = \frac{dy}{dz}
會更加深這種錯覺。事實上\frac{dy}{dx} 絕不是 dy \div dx ，只是如果用這種容易引起誤解的寫法，某些場合會湊巧看起來是對的。
一個比較簡單的理解方法是，始終記住 \frac{dy}{dx} 的更準確寫法是：
\frac{d}{dx}\cdot y
，其中 \frac{d}{dx} （） 是一個整體，這個算符表示括弧裏的東西「對x求導」。這個算符的逆運算也不是 \frac{dx}{d} ,而是 \int (\cdot)dx
這樣很多其他的寫法就會有道理很多。比如不知道有多少人想過，為什麽二階導寫作 \frac{d^2y}{dx^2} 而不是 \frac{dy^2}{dx^2} ，也不等於 (\frac{dy}{dx})^2 ?按剛說的那樣就很好理解，求兩次導是 \frac{d}{dx} 操作兩次，也就是 \frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(y)) = \frac{d^2}{dx^2} (y) ,平時寫作 \frac{d^2 y}{dx^2}
歸根到底就是早期有些數學家和數學教育家習慣不好，非要把運算元 y 寫到算符 \frac{d}{dx} 的內部去。這樣扭曲了這個運算的意義，後面進一步衍生出了一些 dy = f'(x)\cdot dx 這樣的寫法後，迷惑了無數人。
到了偏微分以後，能理解這一層的人比例高了，就基本沒人寫 \partial z = f'(x,y) \partial x\partial y 這種東西了。當然也是因為歧義實在太大任何人都無法忽視。
我當然知道把dy和dx當作獨立的物件，在有些場景下是work的。可以用的時候確實很香。那又怎麽樣呢，不改變我說的：這種用法的使用條件其實比較苛刻，想正確使用的要求其實很高，不推薦給初學者這樣解釋，因為會引起非常多困惑。如果錯誤的以為dy和dx像普通的代數量一樣可以隨意進行各種加減乘除操作，那是完全得不償失的。
至於問這個dy/dx為什麽不是 dy \div dx 的人，我只能說，by definition就不是，區別實在是太多了，這都意識不到我也不知道怎麽講了。
至於dy和dx拆開可以用的時候，要如何理解，或者怎麽理解適用範圍，我很喜歡這個答案：
從易理解到更抽象但普適性更強的解釋都有。我就不再重復了。
