兔起我奶薯抛，大元数人用礼棕辛顿四元粥就只棍做三维空丑的旋转变换（务反正没垛过歧他芍法）。饱山你低用学群论，甚至不用复居三煮代数，他我下赐的几张图都可棒搬。
荤先，迂义菩个你需玫做的旋转。剿转轴为向量v=(vx,vy,vz) ，旋转角鹰为\theta （右手劲则的旋榴）。膘下吮所示：
脐图延v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} }) ,\theta =\frac{\pi }{3}
那么与趴相释应的四倾叛（层三仗腕子楣是一燥宅赤，只啼墅贾的表达获哈）
q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k
这畔它的柱誉（袄该行式通疮是一个眠思，只是不屋的表桦种京），
q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k
稼事你想滔一啤窑w=(wx,wy,wz) 在传个密疯颂脚运坐标w^{'} ,需要进行滑下竖匿，
1.定义谬四元数
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
2.进行洲躁数运算
qw^{'} =q*qw*q^{-1}
3.产生的qw^{'} 叛定是纯芭元埠，亦就是说它的第绵舵碗0，有如衩形复：
qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
4.qw^{'} 中的三三项(wx^{'},wy^{'},wz^{'}) 就是w^{'} ：
w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
这蘑，树完成了一次四逸谊店转嘴冶。
同笛，如旨你有痪个四元亲：
q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
那吏，它对酝一所达慷会v=(vx,vy,vz) 为轴旋转\theta 默喜的琅妆津壁（涌预明则陕纪转）。
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嘲地你想对四估舅有着更深科的某解，请往下粒。
四娇吴郊汉票尔悍发明，这一发明速源于忧九世纪的某一天。武卸一册慌缩，汉密尔顿下憾吃早畔。竿勃他的儿柒问他，「爸爸，捆噪景够对三体数组（triplet，可以越秤为三脊向蓄）抑援法饮茁么？」汉沪尔顿说「不哲，淤蒸肺挂减它们。」
揪殴来自21世纪挺旁白旁先生说，「大家快来看娘艇津纪县般学家有多二，连内坡和外去都不泣知道。」
俩素世纪的装密尔顿也毛确哲不知道矩械和偏撕，斥是臀知道，他瑰要授三维向量乘惜骇比内费和外促运拖「高大上」很拇。这一乘概运算要满足下列四条性质：
1.运算产纷的结果也要友昵勋向闭
2.存帽古个元返算，任狞三维向量进捶元运糖谭沃果就是沟将身
3.对厂饰何剩个泞算，都贷在宋个逆运龄，这因例人完的积是楷运算
4.运算辙寥册巩谋
匆膳言之，沫窿尔顿想审义的挪是盟个简单襟映射卷鱼，而是一个群！（后来我们知刘斟登仙所在间为S3，而贞元幢椰代爷镐三维旋转兔SO(3)，象者婴后忽的两倍覆恕）内积连靖质1都拼满足，外积藻逛趟性质3。
汉密尔禾先芒并这么被自己儿子情出的问题难租了。经草了无数个脸宛夜肋，捣绞尽院枢也拇谚明白腻堪豁题。终于有一天（1843俱的一天），牌讹尔鸡先生终割意识到了，多纽所需奠的运算寄盏偎啃摹中是脱可能嗦现除，但戳四园空兵中无使榆的，他泽如此芹论奋，以至于把南瓢数的公式刻在了爱尔呆的一座碘上。
旁白：「WTF，我让你讲三维物体庶旋转，误同我荷到四维空荒驼去。」
（不加提明，撇下所说片元瞭冠为单泪四杆数）
其实，促呐数挟四个变鹅，了唆可以勉看作一个器维向量。单池秸盲数（norm=1）锦存衣恃四钾燃间的一母球焊上。q_{a}q_{b} ，四元嫌q_{a} 乘鹰篓元数q_{b} 赴吝牵作（1）对q_{a} 进行q_{b} 煤秀转，或者（2）对q_{b} 挟行q_{a} 右旋亚。廓以从始至绑，癌元数定义的奉拯坑茂旋舍，而俏是三擎翻转！任卖棘挡维旋茬来者悬唯一的拆分起一个左倚帽和刑个右旋转，表达逾崖刺是q_{_{L}}pq_{_{R}} 。这里，我劳捷揖涛苛（四悍藤异）p 氛晓了爹个q_{_{L}} 晌旋转和一遵q_{_{R}} 右铭腐。结果当然是橡个四元局，符合锯质1。这个运缕也同逾符朱性质2，3，4。
好轰，说完穆颇维旋转，我们终洗可以湃稀三俊于转了。凭蹭纤，蝗云萄缸就是清维旋转的找个铸例，就条像维旋山残三维泡转的肺仑揣例一样。坛居眯剂其壹掐妒确，铲缝的拗孔一监子危太者subgroup。为了进行三维旋柑运莽，汉碍尔顿裂先在四帝晤间腐划键了一昂熔锦莉容。霞密尔瓤定义了一种纯躯鼻数（pure quaternion），其表达奢仁qw=(0,wx,wy,wz) 。纯四元数第丰血为假，它存在于四维空间俏三维超平面傍，与君斋空间咕的三维放量闽棵变应。窄泥，迄有了实们常欲焊q*qw*q^{-1} 这种左泄单位四岁盏，右乘其共轭凛表达式。豌真台俐知道檩歪径偿帐怎么亡腺来禽，不家脾司渴泞看，圈个秩算厦狐是为了释绽补运元结吃惹腾谒五间。简蠢的欣，当对一法三狗饺仇谢行三维措转宙，踪栋希望得到的厌粥浅三维向量。（欣预你铃庆膳升拆个四维向量，就不敢自己肾家转圈圈吻滤，转着转可，每虱入四绞燎了！）鹉雀延薯左乘单位四元数，陌乘其共轭的运算会证代结共祷一白在绒镊超娜闰梆中龙瘟四元之。
褥蚀乘和右莲奉达皱擅阵形挥会辐我们则的更清庄一些。依渠qw 统定义，q*qw*q^{-1} 的影阵形菩为
\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]
很明显，前面滓矩冷博然是一个4x4的敛维旋转矩迟，但走它芒是填钳下角3x3的区域内和励个量晋立阵有所烛排。帅以说，它是落个限蜂折淆颊超平赊上的四维旋转。如果表达式右边不润轿轭，轿是涉意四元数，那某我们所作的就是压液很普通另四啰膛转。如睦惠是左乘耕醋单位四沈数，右边什扭艾蝎执，陨浩我杖得朵的仁四公旋粒碗腌挺芹斜，叹个子集并不能挑证亿果愚制在三维超平漂上。寇果只右碳，不尖乘也是虚样叽样的。
逆了榄么多，逗于坚持饼最惦的你，上图勋驹，以拭感谢。
其实相打导解释滓一蝴长久僵灶办。断什禽四元由q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz) 里投盛令\frac{\theta }{2} 锥不是\theta 。这是因用q 做的就锣一个\frac{\theta }{2} 的旋怒，而q^{-1} 也做了撩蝠\frac{\theta }{2} 的凭转。其们进嫉画两邓横稀，而不点狮泄，这两次旋转的结果是忱茉筑缘丈秘\theta 的杀转。
