授人以鱼不如授人以渔，这篇文章会介绍 如何通过「统计学检验」来对比机器学习算法性能 。掌握了这个方法后，我们就不需要再人云亦云，而可以自己分析算法性能。
首先结论如下，在对比 两个算法 在 多个数据集 上的表现时：
在对比 多个算法 在 多个数据集 上的表现时：
文章结构如下：(1-2) 算法对比的原因及陷阱 （3-4) 如何对比两个算法 （5-6）如何对比多个算法 （7）如何根据数据特性选择对比方法 （8）工具库介绍。
1. 为什么需要对比算法性能？
统计学家George Box说过：「All models are wrong, but some are useful」（所有模型都是错误，只不过其中一部分是有价值的）。通俗来说， 任何算法都有局限性，所以不存在「通用最优算法」，只有在特定情境下某种算法可能是渐进最优的 。
因此，评估算法性能并选择最优算法是非常重要的。不幸的是，统计学评估还没有在机器学习领域普及，很多评估往往是在一个数据上的简单分析，因此证明效果有限。
2. 评估算法中的陷阱
首先我们常说的是要选择一个 正确的评估标准 ，常见的有：准确率（accuracy）、召回率（recall）、精准率（precision）、ROC、Precision-Recall Curve、F1等。
选择评估标准取决于目的和数据集特性。在较为平衡的数据集上（各类数据近似相等的情况下），这些评估标准性能差别不大。而在数据严重倾斜的情况下，选择不适合的评估标准，如准确率，就会导致看起来很好，但实际无意义的结果。举个例子，假设某稀有血型的比例（2%），模型只需要预测全部样本为「非稀有血型」，那么准确率就高达98%，但毫无意义。在这种情况下，选择ROC或者精准率可能就更加适当。这方面的知识比较容易理解，很多科普书都有介绍，我们就不赘述了。
其次我们要正确理解 测量方法 ，常见的有
举个例子，我们想要分析刷知乎时间（每天3小时 vs. 每天10小时）对于大学生成绩的影响。如果我们使用相同的20个学生，观察他们每天3小时和10小时的区别，那就是重复测量。如果我们选择40个学生，分成两组每组20人，再分别观察那就是独立测量。如果我们先找20个学生，再找20个和他们非常相似的大学生，并配对观察，就是成对相似。
我们发现，当错误的理解测量方式时，就无法使用正确的统计学手段进行分析 。
在这篇文章中我们默认：评估不同算法在多个 相同数据集 上的表现属于 重复测量 ，而特例将会在第七部分讨论。同时，本文介绍的方法 可以用于对比任何评估标准 ，如准确度、精准度等，本文中默认讨论准确度。
3. 两种算法间的比较：不恰当方法
图1展示了两种决策树方法（C4.5，C4.5+m）在14个数据集上的准确率。那么该如何对比两种算法呢？先说几种错误（不恰当）的方法：
不恰当方法1：求每个算法在所有数据集上的均值，并比较大小 。错误原因：我们对于算法在不同数据集上错误的期望不是相同的，因此求平均没有意义。换句话说，数据不符合相称性（commensurate）。
不恰当方法2 ： 进行配对样本t检测（Paired t test） 。显然，t test是统计学方法，可以用来查看两种方法在每个数据上的平均差值是否不等于0。但这个方法不合适原因有几点：
不恰当方法3：符号检验（sign test） 是一种无参数（non-parametric）的检验，优点是对于样本分布没有要求，不要求正态性。比较方法很简单，就是在每个数据集上看哪个算法更好，之后统计每个算法占优的数据集总数。以这个例子为例，C4.5在2个数据集上最优，2个平手，10个最差。如果我们对这个结果计算置信区间，发现p<0.05需要至少在11个数据集上表现最优。因此这个方法的缺点有：
4. 两种算法间的比较：推荐方法
考虑到通用性，我们需要使用非参数检验。换句话说，我们需要保证对样本的分布不做任何假设，这样更加通用。
方法1：Wilcoxon Signed Ranks Test（WS ） 是 配对t检验的无参数版本 ，同样是分析成对数据的差值是否等于0，只不过是通过排名（rank）而已。换个角度看，我们也可以理解为 符号检验的定量版本 。优点如下：
方法2（详见第七部分）：Mann Whitney U test （MW）和WS一样，都是无参数的且研究排名的检验方法。MW有以下特性：
换句话说，MW是当样本量不同时才建议勉强一试，因为不符合独立测量的假设。不同数据集的错误（准确率）不一定符合特定分布，很可能不符合相称性，但在特定情况下有用，详见第七部分。
总结：如果样本配对且符合正态分布，优先使用配对t检测。如果样本不符合正态分布，但符合配对，使用WS。如果样本既不符合正态分布，也不符合配对，可以尝试MW。
5. 多种算法间的比较：不恰当的方法
图4提供了四种算法（C4.5，C4.5+m，C4.5+cf，C4.5+m+cf）在14个数据集上的准确率。
不恰当方法1 ：一种看法是，我们是否可以把两个算法的对比推广到多个算法上。假设有k个算法，我们是否可以对它们进行两两比较，经过 \frac{(1+(k-1))\times (k-1)}{2}=\frac{k^2-k}{2} 次计算得到一个矩阵。这个是经典的多元假设检验问题，这种穷举法一般都假设了不同对比之间的独立性，一般都不符合现实，需要进行校正，因此就不赘述了。
不恰当方法2 ： Repeated measures ANOVA 是经典的统计学方法，用来进行多样本间的比较是，可以看做是t检验的多元推广。ANOVA不适合对比算法表现的原因如下：
不幸的是，我们想要对比的算法表现不符合这个情况，因此ANOVA不适合。
6. 多种算法间的比较：推荐的方法
我们需要找到一种方法同时解决第5部分中提到的问题，这个方法需要：
Demšar [1]推荐了非参数的多元假设检验 Friedman test 。Friedman也是一种建立在排名（rank）上的检验，它假设所有样本的排序均值相等。具体来讲，我们首先给不同算法在每个数据集上排序，并最终计算算法A在所有数据集上排名的均值。如果所有算法都没有性能差别，那么它们的性能的平均排名应该是相等的，这样我们就可以选择特定的置信区间来判断差异是否显著了。
假设我们通过Friedman test发现有统计学显著（ p <0.05），那么我们还需要继续做事后分析（post-hoc）。 换句话说，Friedman test只能告诉我们算法间是否有显著差异，而不能告诉我们到底是哪些算法间有性能差异。想要定位具体的差异算法，还需要进行post-hoc分析。
Friedman test一般配套的post-hoc是Nemenyi test，Nemenyi test可以指出两两之间是否存在显著差异。我们一般还会对Nemenyi的结果可视化，比如下图。
另一个值得提的是，即使Friedman证明算法性能有显著不同，Nemenyi不一定会说明到底是哪些算法间不同，原因是Nemenyi比Friedman要弱（weak），实在不行可以对必须分析的算法成对分析。
方法2（详见第七部分）：和两两对比一样，在多个样本对比时也有一些特定情况导致我们不能使用Friedman-Nemenyi。另一个或许可以值得一试的无参数方法是Kruskal Wallis test搭配Dunn's test（作为post-hoc）。 这种方法的特点是：
7. 再看重复测量和独立测量
我们在第二部分分析了重复测量与独立测量，而且假设机器学习性能的对比 应该是建立在「重复测量」上的，也就是说所有的算法都在相同的数据集上进行评估 。
在这种假设下，我们推荐了无参数的：Wilcoxon对两个算法进行比较， Friedman-Nemenyi对多个算法进行对比。
然而，「 重复测量」的假设不一定为真 。举个例子，如果我们只有一个数据，并从数据中采样（sample）得到了很多相关的测试集1, 2，3...n，并用于测试不同的算法。
在这种情况下，我们就可以用Mann Whitney U test对比两种算法，Kruskal-Dunn对比多种算法。 而且值得注意的是，这种情况常见于人工合成的数据，比如从高斯分布中采样得到数据 。因此，要特别分析数据的测量方式，再决定如何评估。
8. 工具库与实现
我们知道R上面有所有这些检验，着重谈谈Python上的工具库。幸运的是，上文提到所有检验方法在Python上都有工具库
Scipy Statistical functions ：Wilcoxon，Friedman，Mann Whitney
scikit-posthocs：Nemenyi，Dunn's test
文章的配图来自于[1] 以及我的一篇paper [2]，接收后会补上reference。 文章的思路和脉络基于[1]， 建议阅读。[2]主要着力于特定情况，当重复测量失效时的检验。
[1] Demšar, J., 2006. Statistical comparisons of classifiers over multiple data sets. Journal of Machine learning research , 7 (Jan), pp.1-30.
[2] To complete.
