谢谢邀请。
不能。我明白题主产生这个疑惑的原因，因为按照 线速度＝角速度×半径 的公式，只要半径够大，那么乘以固定的角速度，线速度肯定可以超光速。
虽然在你的印象中，秒针靠近中心位置和末端位置始终同步运动，但那只是你的错觉，因为秒针太短了，以至于你无法发现它们运动过程的不同步。
假设有这样一根足够长的秒针（先不考虑是否有足够的能量带动秒针运动的问题），当靠近中心的位置被齿轮带动时，这个形变是慢慢传递到秒针尖端的。这个传递过程到底有多慢呢？它的传递速度恰好等于声音在秒针中的传导速度，没错，就是 声速 。相比起光速，声速简直低到不值一提……
所以这样的实验结果，就是秒针最后变成了螺旋线……
有的同学可能会说，如果秒针是刚体呢？要注意的是，刚体只是我们为了简化某些物理问题的假设，实际上刚体并不存在。有些问题把物体简化为刚体，并不会对问题结论产生影响，也不会产生物理定律的矛盾，我们自然是乐于这样做的；但有些问题，你把物体简化为刚体，就产生了物理定律之间的矛盾，那就只能证明这种简化在此类问题中不适用。
当然了，如果一定要坚持「刚体」的假设，其实物理学上还是有许多拦路虎阻挡你超光速，比如相对论……具体推导我写在最后了，感兴趣的可以去看，对公式过敏的就算了。
不过作为一个学光学的，我经常遇到的另一个与此很类似的问题，那就是将这个题目中的「秒针」换成激光笔，当我们把激光笔划过天空，遥远的距离上，激光笔的光斑的移动速度岂不是超光速了？
其实看起来这和秒针那个本质上没有什么不同，激光笔光束的传播速度也同样是有限的，只是传播速度是光速，比声速快得多罢了，所以甩出的仍然是一条螺旋线……
但和秒针这个问题不一样的是，由于光子和光子之间是独立的，所以结论也会不同。
关于「是否可以超光速」的问题，物理学上有一个概念叫做「相速度」，物理知识丰厚的同学一下子就知道我要说啥了，但没接触过这方面的同学要理解这个概念还不是很容易。
举个例子来说，假如下图是海浪一波波地冲击沙滩，海浪和沙滩接触位置（绿点）的运动速度是完全可以超越海浪本身速度的，海浪换成光波的话，就是可以超光速的。这个速度就是「相速度」。相速度超光速并不违背任何的物理定律，因为其中没有信息或能量的传递。
不过激光笔光斑这个和相速度还真是没啥关系，因为这中间并不涉及严格物理学意义上的「运动」。具体到此问题中激光笔划过天空的情景，可以设想这样一个例子：
比如在天空中有很多很多星星，假如这些星星非常巧合的（别管为啥总之就是凑巧了）一个个排队交替闪烁，那么这个过程是可以视作「闪光点」在高速运动的，只要这些星星足够远，就可以实现「超光速」，激光笔扫过天空时，「光斑」的运动就是类似于这些星星依次点亮的过程。
举一个极限的情况吧。
假如我将激光笔首先向左照一下，然后迅速将激光笔旋转180°，向右照了一下，这个过程花费了1秒。经过一年后，假如在左侧一光年外的某个天体上形成了激光笔的光斑，那么一秒后，在右侧一光年外的某个天体上也形成了一个光斑。如果将光斑视作「运动」的话，那相当于一秒钟跨越了两光年的距离，这显然是超光速了。但这种超光速是没啥具体意义的。
有小伙伴问为啥秒针中形变的传播速度是声速，因为形变的传递过程和声音在介质内传递的过程本质是一样的， 都是一个位置的「变形」引起力的作用，然后传导到临近的位置，引起「变形」，所以传递速度就是机械波的速度。不过要注意的是，这里的「声速」是指秒针这类材料的声速，而不是空气中的声速。固体中声速要比空气中快不少，但相比光速，还是不值一提。
最初我真的是不想写涉及相对论内容的，因为一来这个回答只是我睡前的兴起之作，二来一旦涉及到数学公式，就变成了专业玩家小圈子的内容，而不是大众科普了。但随着大家提问的逐渐深入，不补充看来不行了……
我在前面的回答中提到，刚体不存在，秒针会转成螺旋线。这虽然摧毁了这个问题的前提，但并没有涉及到为何不能超光速的实质。
接下来补充涉及相对论的爱因斯坦圆盘部分，看数学公式像看天书的朋友可以走了。
假设有这么一个圆盘，特别牛逼，不需要考虑什么刚体是否存在的问题，反正我说是刚体就是刚体（思想实验嘛，就是任性），就这么高速转起来了，那么圆盘足够大的话，边缘是否可以超光速？
假设圆盘转速为 \omega ，圆盘静止时半径为 R ,那么静止时周长为 L_{0}=2\pi R ，这个很好理解。
在圆盘上任取一小圆心角 \Delta\theta ，对应边缘位置一小段，应用洛伦兹变换可以知道对应的边缘长度为： \Delta l=\sqrt{1-(v/c)^{2}}R\Delta\theta ，其中 v 就是我们想知道的边缘运动的速度了。但要注意的是，这个地方的 v 不能简单地用 v=\omega R 来计算，否则讨论半天不就没意义了嘛！
假设边缘质点扫过 \Delta l 用时为 \Delta t ，那么将速度最基础的定义套用进去，可以表达为 v=\Delta l/\Delta t 。当然了，自然也可以计算出 \omega=\Delta\theta/\Delta t 。
然后一通代入，就得到：
v=\omega R/\sqrt{1+(\omega R/c)^{2}} 。
当 \omega 固定，随着 R 的增加，那肯定 v 也在增加。但很明显，这个增加是有极限的，即：
\lim_{R \rightarrow \infty}{v}=c 。
这就说明，哪怕是个牛逼的刚体圆盘，不必考虑任何材料的问题，半径可以无限增长，圆盘边缘的速度极限也只不过是光速而已……一个并不意外的意料之中的计算结论……其实从我开始运用洛伦兹变换的一刹那，相信熟悉相对论的同学脑海中已经复现出这个结论了……
