1.\[\prod\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {1 - {x^k}} \right)}^{24}}} \] 幂级数展开的系数中是否有0?
即证明或推翻: \[\prod\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {1 - {x^k}} \right)}^{24}}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + ...\] 中 \[{x^n}\] 的系数 \[{a_n} \ne 0\] 恒成立,目前计算机已经验证了所有 \[n < 816212624008487344127999\] ,没有发现反例,也没有证明。
前几项如下:
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168, 128406630, -29211840, -52843168, -196706304, 134722224, 165742416, -80873520, 167282496, -182213314, -255874080, -145589976, 408038400, 308120442, 101267712, -17125708, -786948864, -548895690, -447438528, 2687348496, 248758272, -1696965207, 611981400, -1740295368......2.数列 \[{a_1} = {a_2} = 1,{a_n} = {a_{n - {a_{n - 1}}}} + {a_{n - {a_{n - 2}}}}\left( {n \ge 3} \right)\] 是否是有限数列?
若存在某个 \[n \ge 3\] 使得 \[{a_{n - 1}} \ge n\] ,则下标 \[n - {a_{n - 1}} < 1\] ,递推无法进行,数列到此为止,便为有限数列,但目前没人能证明这一点。
前几项如下:
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 16, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 20, 17, 17, 20, 21, 19, 20, 22, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 24, 25, 30, 28, 26, 30, 30, 28, 32, 30, 32, 32, 32, 32, 40, 33, 31, 38, 35, 33, 39, 40, 37, 38, 40, 39......3.Flint Hills Series是否收敛?
即求和 \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\csc }^2}n}}{{{n^3}}}} \] 是否收敛?此问题与 \[\pi \] 的无理测度有关,目前还没被证明。
4. 对于大于等于2的正整数,是否总有 \[\left\lfloor {\frac{{{3^n}}}{{{2^n}}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n} - 1}}} \right\rfloor \] ?
其中 \[\left\lfloor x \right\rfloor \] 表示向下取整,如 \[\left\lfloor \pi \right\rfloor = 3,\left\lfloor {4.7} \right\rfloor = 4\]
看着很简单,实际上难度很高
5.平面上n条两两相交的线最多能交出多少个不重叠的三角形?
又称Kobon三角形问题,交法具体见下图:
目前已经证明上界是 \[\left\lfloor {\frac{{n\left( {n - 2} \right)}}{3}} \right\rfloor \] ,前几项是 0, 0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 21...
6.三维空间中至多有几条异面直线两两距离相等?
又称Touching Cylinders Puzzle,目前最好的答案是七,不知道有没有更大的。
具体可以见:
7.平面内能覆盖住所有长度为1的曲线的最小图形面积是多少?
此问题又称The Worm Problem,即要求在平面上寻找一个面积最小的(凸)区域,使得任何一条长为1的平面曲线都能够通过旋转和平移完全放入该(凸)区域之中。目前最优解如下:
8.哪些正整数不能被表示为 \[xy + yz + zx,1 \le x \le y \le z\] 且 \[x,y,z \in {N^ + }\] 的形式?
已经证明 1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462 这些数无法表示,且至多还存在一个 \[ \ge {10^{10}}\] 的数满足,但目前无人能证明或推翻其存在性。
先写这些,日后慢慢补充。。。