数学界有哪些通俗易懂的 open problem？

1.\[\prod\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {1 - {x^k}} \right)}^{24}}} \] 幂级数展开的系数中是否有0？

即证明或推翻: \[\prod\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( {1 - {x^k}} \right)}^{24}}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + ...\] 中 \[{x^n}\] 的系数 \[{a_n} \ne 0\] 恒成立，目前计算机已经验证了所有 \[n < 816212624008487344127999\] ，没有发现反例，也没有证明。

前几项如下：

2.数列 \[{a_1} = {a_2} = 1,{a_n} = {a_{n - {a_{n - 1}}}} + {a_{n - {a_{n - 2}}}}\left( {n \ge 3} \right)\] 是否是有限数列？

若存在某个 \[n \ge 3\] 使得 \[{a_{n - 1}} \ge n\] ，则下标 \[n - {a_{n - 1}} < 1\] ，递推无法进行，数列到此为止，便为有限数列，但目前没人能证明这一点。

前几项如下：

3.Flint Hills Series是否收敛？

即求和 \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\csc }^2}n}}{{{n^3}}}} \] 是否收敛？此问题与 \[\pi \] 的无理测度有关，目前还没被证明。

4. 对于大于等于2的正整数，是否总有 \[\left\lfloor {\frac{{{3^n}}}{{{2^n}}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n} - 1}}} \right\rfloor \] ？

其中 \[\left\lfloor x \right\rfloor \] 表示向下取整，如 \[\left\lfloor \pi \right\rfloor = 3,\left\lfloor {4.7} \right\rfloor = 4\]

看着很简单，实际上难度很高

5.平面上n条两两相交的线最多能交出多少个不重叠的三角形？

又称Kobon三角形问题，交法具体见下图：

目前已经证明上界是 \[\left\lfloor {\frac{{n\left( {n - 2} \right)}}{3}} \right\rfloor \] ，前几项是 0, 0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 21...

6.三维空间中至多有几条异面直线两两距离相等？

又称Touching Cylinders Puzzle，目前最好的答案是七，不知道有没有更大的。

具体可以见：

7.平面内能覆盖住所有长度为1的曲线的最小图形面积是多少？

此问题又称The Worm Problem，即要求在平面上寻找一个面积最小的(凸)区域,使得任何一条长为1的平面曲线都能够通过旋转和平移完全放入该(凸)区域之中。目前最优解如下：

8.哪些正整数不能被表示为 \[xy + yz + zx,1 \le x \le y \le z\] 且 \[x,y,z \in {N^ + }\] 的形式？

已经证明 1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462 这些数无法表示，且至多还存在一个 \[ \ge {10^{10}}\] 的数满足，但目前无人能证明或推翻其存在性。

先写这些，日后慢慢补充。。。