透過圍道積分的方法可以證明：
若用π(x)表示不超過x的質數個數、 \Theta 表示zeta函式零點實部的上確界，則存在與 \Theta 無關的固定正常數K使得對於足夠大的x均有\left|\pi(x)-\int_2^x{\mathrm dt\over\ln t}\right|\le K x^\Theta\ln x
我們希望誤差越小越好，而由於zeta函式的零點關於實部為1/2的直線對稱，所以 \Theta\ge1/2 。而當 \Theta=1/2 時我們就得到了此時最優的上界：
若黎曼猜想為真，則對於足夠大的x均有\left|\pi(x)-\int_2^x{\mathrm dt\over\ln t}\right|\le K\sqrt x\ln x
