當物體旋轉不快的時候,「離心力」看起來不大,但如果不對邊界加以限制,物體會很快加速到一個令人意想不到的速度。
昨天在刷抖音,突然看到了下面這個視訊,視訊裏說:勻速旋轉的光滑桿上串著一個小球,如果桿一秒旋轉一圈,那麽距離中心 1cm 的小球會在三圈半後超過光速。
看到這個結論後,我虎軀一震,覺得有些不可思議。於是我掏出了紙和筆,演算了一番。
解題過程
首先,我們可以把球的速度分成「水平方向」和「垂直方向」。
v=\sqrt{v_{//}^{2}+v_{\bot}^{2}} (1)
高中物理告訴我們,對於圓周運動,我們有:
v_{//}=\omega r (2)
a_{\bot}=\omega^2r (3)
這個 \omega ,是指圓周運動的角速度; a_{\bot} 是指垂直方向的加速度;
顯然,我們還有
\frac{dv_{\bot}}{dt}=a_{\bot} , \frac{dr}{dt}=v_{\bot} (4)
帶入 (3) 式,我們有:
\frac{d^{2}v_{\bot}}{dt^{2}}=\omega^{2}v_{\bot} (5)
這是一個簡單的「二階微分方程式」,可以描述為
v_{\bot}''-\omega^{2}v_{\bot}=0
特征方程式: \lambda^{2}-w^{2}=0
兩個解: \lambda=\pm\omega
於是方程式 (5) 的通解是: v_{\bot}=C_{1}e^{\omega t}+C_{2}e^{-\omega t} (6)
考慮到邊界條件:
v_{\bot}(t=0)=0
v_{\bot}'(t=0)=a_{\bot}(t=0)=\omega^{2}r_{0}
帶入 (6) 式,有
C_{1}+C_{2}=0
\omega(C_{1}-C_{2})=\omega^{2}r_{0}
於是解得:
C_{1}=\frac{1}{2}\omega r_{0} , C_{2}=-\frac{1}{2}\omega r_{0}
於是:
v_{\bot}=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}-e^{-\omega t})
v_{//}=\omega r =\omega(r_{0}+\int_{0}^{t}v_{\bot} dt)=\omega r_{0}(1+ \frac{1}{2}(e^{\omega t}+e^{-\omega t}-2) )=\frac{1}{2}\omega r_{0}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})
考慮到, \omega t 比較大的時候,負向指數趨於 0。
於是有: v_{\bot}\approx\frac{1}{2}\omega r_{0}e^{\omega t} \approx v_{//}
帶入 (1) 式,有:
v\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\omega r_{0}e^{\omega t}
這個最終的結果展示了, 小球的速度隨時間將以指數的方式增長。
小球加速到光速的時間:
t_{c}\approx\frac{1}{\omega} \ln \frac{\sqrt{2} c}{\omega r_{0}}
在本問題中, \omega=2\pi , r_{0} =0.01
得出 t 約為 3.602 秒。
如果不考慮相對論效應,的確會在 3 圈半後超過光速!
當然了,這只是一個在牛頓力學體系下理想實驗,實際上,並沒有完全光滑的、每秒旋轉 1 圈的、無限長的桿子。