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函数方程 f(xy)=f(x)+f(y) 的严格解是什么?解是否唯一?

2021-03-25科学

看了些答案,凡是用到微分,又不证明 f(x) 可微的,都是不严格的。因为函数连续不一定可微。

根据 f(xy)=f(x)+f(y) 可以得到:

  1. f(1)=2f(1)\Rightarrow f(1)=0

2. f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=nf(x),\forall n\in N^+

3. f(x)=f(x^{n*{1 \over n}})=nf(x^{1 \over n})\Rightarrow f(x^{1 \over n})={1 \over n}f(x),\forall n\in N^+

4 f(1)=f(xx^{-1})=f(x)+f(x^{-1})=0\Rightarrow f(x^{-1})=-f(x)

综上可得: f(x^a)=af(x) \quad ,a \in Q,x>0 成立.

由于 f(x) 在正实数域是连续的,进一步可以将 a 由有理数域 Q 拓展到实数域 R : 即:f(x^a)=af(x) \quad ,a \in R,x>0 成立。

大致证明如下:

由实数的性质,任意的实数 a\in R ,总存在一个有理数数列 b_n\in Q ,使得: \lim_{n\to \infty}b_n=a

两边同乘 f(x) : \lim_{n\to \infty}b_nf(x)=af(x)

又因为 f(x) 是连续的,根据连续函数的定义有: \lim_{n\to \infty}f(x^{b_n})=f({\lim_{n\to \infty}x^{b_n}})=f(x^a)

得到: f(x^a)=af(x),\forall a \in R 成立。

这样就得到了:

f(e^x)=xf(e)\overset{t=e^x}\Rightarrow f(t)=f(e)ln(t)

确实是对数函数,或者 f(t)=0 ,没有别的可能了。