看了些答案，凡是用到微分，又不證明 f(x) 可微的，都是不嚴格的。因為函數連續不一定可微。
根據 f(xy)=f(x)+f(y) 可以得到：
- f(1)=2f(1)\Rightarrow f(1)=0
2. f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=nf(x),\forall n\in N^+
3. f(x)=f(x^{n*{1 \over n}})=nf(x^{1 \over n})\Rightarrow f(x^{1 \over n})={1 \over n}f(x),\forall n\in N^+
4 f(1)=f(xx^{-1})=f(x)+f(x^{-1})=0\Rightarrow f(x^{-1})=-f(x)
綜上可得： f(x^a)=af(x) \quad ,a \in Q，x>0 成立.
由於 f(x) 在正實數體是連續的，進一步可以將 a 由有理數體 Q 拓展到實數體 R ： 即：f(x^a)=af(x) \quad ,a \in R,x>0 成立。
大致證明如下：
由實數的性質，任意的實數 a\in R ,總存在一個有理數數列 b_n\in Q ,使得： \lim_{n\to \infty}b_n=a
兩邊同乘 f(x) ： \lim_{n\to \infty}b_nf(x)=af(x)
又因為 f(x) 是連續的，根據連續函數的定義有： \lim_{n\to \infty}f(x^{b_n})=f({\lim_{n\to \infty}x^{b_n}})=f(x^a)
得到： f(x^a)=af(x),\forall a \in R 成立。
這樣就得到了：
f(e^x)=xf(e)\overset{t=e^x}\Rightarrow f(t)=f(e)ln(t)
確實是對數函數，或者 f(t)=0 ,沒有別的可能了。
