科舉是套體系，歷經百年演變，多少帝王費盡心血研制出的統治手段而已。數學有利於統治嗎？
科舉考試不是中高考，而是中高級官員選拔考試，對那個層級的人來說數學沒那麽重要，需要幹活還怕找不到賬房先生麽。國家層面上需要數學的專業崗位，比如欽天監，肯定是要考數學的。古代數學是和天文歷法高度繫結的，隨著皇權的加強自然不再隨便放開。明清把數學定義為是陰陽學，算學，天文學，這方面的文章很多，不難搜。以明代的陰陽學為例，修習陰陽學的人被稱為陰陽人，有明文固定，陰陽人不能參加科舉。從政策上牢牢限制數學專業人才的政治前景，也就是說不僅僅是科舉不考數學，而是專業學數學的人不能參加科舉。
而且絕大多數朝代的欽天監都是家族傳承的，由某一家族一直打理到朝代滅亡。家族傳承，不存在考試一說。因為關系到「天命」這個很重要的東西，歷代是禁止民間私自學習和研究天文學的。一直到清朝，西方傳教士帶來了當時歐洲的天文學和數學，清朝的欽天監主要任用西方傳教士及其學生。具體可以看江曉原的【天學真原】。
說實話，對於古代、甚至現代大多數套用場景這些就夠了。提問者說的這些嚴格來說都還沒進入數學的領域，算是套用數學吧。
什麽是數學，數學是搭建一個嚴謹的、自洽的框架，我們古代的數學基本就算是發現了一些計算方法，算不上搭建框架。那什麽是數學呢？比如研究1+1為什麽等於2，這個整出了皮亞諾公理；為什麽根號2是無理數，由此引入無理數的概念；極限的嚴格定義為什麽要用到存在一個數比任意數列中的數大或者？這些才是數學要研究的東西。我說出來，可能很多人又覺得沒用了，但這些才是搭建數學這個框架真正需要的東西。
中國古代數學在演算法上其實走的是很遠的，就是缺了『幾何原本』，不是具體內容，而是其中的思想。包括物理方面也是。現代物理，從伽利略牛頓那裏，其實就是公理化（物理定律）加實驗（假說演繹）。數學也是依托公理化，所以一下子就大爆發了，短短時間內就走的很高深，很抽象，很嚴謹。固明末徐光啟意識到了這點，轉譯『幾何原本』，並給予極高的評價: 「似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難.易生於簡，簡生於明，綜其妙在明而已.」
