老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？

这事儿刚开始是比较不好理解。

这事儿得从这位大佬开始讲起：

莱布尼茨的发明

我们知道导数是这样定义的：

f^\prime(x) =\lim_{h\to0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

但在数学大佬的眼里，这玩意不 美观 啊！！在许多时候，数学家眼里 美=简洁 。但这式子不简洁。

从导数的定义上看它不可避免的问题就是要求 商 ，但无奈又不能把极限分别写进分子和分母里去！于是Leibniz就想出了这么个玩意：

\frac{dy}{dx} ，并解释道：它是" 由 x 的变化而引起的 y 的无穷变化量 "( dy )与「 x 的无穷小变化量 」(dx) 的 商 。那么用这个记法就可以很好地体现出导数定义里 商 的形式了。

上述解释的关键在于： dy 必须是因 x 改变了 dx 而引起的变化，这个记号才有意义

翻译几下就是： dy 不能独立于 x 而变化！

反例其实很好找：

y^\prime(x)\cdot z^\prime(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{y(x+h) -y(x)}{h} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{z(t+h) -z(t)}{h} =\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dz}{dt}

此时 dy 是和 t 无关的， dz 是和 x 无关的。

因此如果写成这样就肯定错了：

\xcancel{\color{red}{\frac{dy}{dx }\cdot\frac{dz}{dt} = \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dz}{dx} }}

反过来，如果满足我们上述的条件，那么实际上它是可以作为「商」来处理的

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\quad\frac{dy}{dx}\quad}

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\;\frac{du}{dx}

比如我们令 x=x(t) ，

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du}\;\frac{du}{dx}\;\color{red}{\frac{dx}{dt}}

甚至于：

y = f_1\circ f_2\circ \cdots\circ f_n(x)

我们可以这样处理：

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{\color{Red} {df_n} }\frac{\color{Red}{ df_n} }{dx}

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{\color{Red}{ df_{n-1}} }\;\frac{\color{Red}{ df_{n-1}} }{\color{Blue}{ df_{n}} }\;\frac{\color{Blue}{ df_n} }{dx}

\vdots

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df_1}\;\frac{df_1}{df_2}\cdots\frac{df_n}{dx}

这个过程中，我们就可以看成不断地同时「乘」、「除」 df_k ，因为每一步的添加项都 没有破坏分子是因其自变量改变而产生的无穷小量这一条件 。

\left \{ \begin{align*} x = x(t)\\ y = y(t) \end{align*} \right.

\frac{dy}{dx}={\left ( \frac{dy}{\color{Red}{ dt} } \right ) \Big/ \left ( \frac{dx}{\color{Red}{ dt}} \right ) }

其反函数类似：

\frac{dx}{dy}={\left ( \frac{dx}{\color{Red}{ dt} } \right ) \Big/ \left ( \frac{dy}{\color{Red}{ dt}} \right ) }

这里与复合函数链式法则完全相同， 由于 dx,dy 都是由 t 的变化而产生的无穷小量 ，因此仍然可以同时「乘」、「除」 dt 。

鸣谢：