这个问题，要彻底理解需要从微分的定义出发（也并不难）。但理解了定义的就不再需要问这个问题，问这个问题的都是暂时没理解定义的。
而且类似问题在数学中其实非常常见：现代数学虽然极端讲究严谨，但数学家都是懒人，日常表达中经常会使用一些并不严谨或者过于简略的notation，必须对相关领域和上下文有充分理解的人才能准确理解其意义。这样其实对新手非常不友好。
最简单的例子，当自变量「显而易见」时，导数常被写成 f'(\cdot) 的形式。而使用中，很多时候这个自变量指的什么并不明确。或者说作者自己很清楚，读者并不一定清楚。中学教材这类的东西因为被反复修改过，类似问题少一点，研究生阶段各种教授给提纲PostDoc写出来的讲义里面类似问题随处可见。说白了就是人都懒，数学家也不例外。
回到 \frac{dy}{dx} 这个问题：
把 \frac{dy}{dx} = f'(x) 写成 dy = f'(x)\cdot dx ，这种写法非常不好。会让人产生错觉 \frac{dy}{dx} 是 dy \div dx 。再配合上比如chain rule写成：
\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dz} = \frac{dy}{dz}
会更加深这种错觉。事实上\frac{dy}{dx} 绝不是 dy \div dx ，只是如果用这种容易引起误解的写法，某些场合会凑巧看起来是对的。
一个比较简单的理解方法是，始终记住 \frac{dy}{dx} 的更准确写法是：
\frac{d}{dx}\cdot y
，其中 \frac{d}{dx} （） 是一个整体，这个算符表示括号里的东西「对x求导」。这个算符的逆运算也不是 \frac{dx}{d} ,而是 \int (\cdot)dx
这样很多其他的写法就会有道理很多。比如不知道有多少人想过，为什么二阶导写作 \frac{d^2y}{dx^2} 而不是 \frac{dy^2}{dx^2} ，也不等于 (\frac{dy}{dx})^2 ?按刚说的那样就很好理解，求两次导是 \frac{d}{dx} 操作两次，也就是 \frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(y)) = \frac{d^2}{dx^2} (y) ,平时写作 \frac{d^2 y}{dx^2}
归根到底就是早期有些数学家和数学教育家习惯不好，非要把运算对象 y 写到算符 \frac{d}{dx} 的内部去。这样扭曲了这个运算的意义，后面进一步衍生出了一些 dy = f'(x)\cdot dx 这样的写法后，迷惑了无数人。
到了偏微分以后，能理解这一层的人比例高了，就基本没人写 \partial z = f'(x,y) \partial x\partial y 这种东西了。当然也是因为歧义实在太大任何人都无法忽视。
我当然知道把dy和dx当作独立的对象，在有些场景下是work的。可以用的时候确实很香。那又怎么样呢，不改变我说的：这种用法的使用条件其实比较苛刻，想正确使用的要求其实很高，不推荐给初学者这样解释，因为会引起非常多困惑。如果错误的以为dy和dx像普通的代数量一样可以随意进行各种加减乘除操作，那是完全得不偿失的。
至于问这个dy/dx为什么不是 dy \div dx 的人，我只能说，by definition就不是，区别实在是太多了，这都意识不到我也不知道怎么讲了。
至于dy和dx拆开可以用的时候，要如何理解，或者怎么理解适用范围，我很喜欢这个答案：
从易理解到更抽象但普适性更强的解释都有。我就不再重复了。
