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怎样计算一根电线 1 秒内可以最高承受多大电流?

2020-08-06科学

第一步:我们来算一算让电线通过270A的电流持续2秒钟,它的温度能达到多少度

这里我们要用到一个计算式,如下:

\theta _{k} =\frac{1}{\alpha _{0} } [(1+\alpha _{0} \theta _{0} )e^{\frac{\rho _{0} \alpha _{0}t_{k} I_{k}^{2} }{S^2c\gamma } } -1] ,式1

式1中,θk是通电后的最高温度;θ0是环境温度;α0是铜的电阻温度系数,它的值等于0.0043/°C;Ik就是通电电流,Ik=270A;tk就是通电时间,tk=2s;S是导线截面积;c是铜的比热容,c=390Ws/kg.°C;γ是铜的密度, \gamma=8.9\times 10^3kg/m^3 。

题主并未告知他所处环境的温度是多少,我们不妨认为就是25°C吧。我们把数据代入到式1中,看看计算结果怎样:

\theta _{k} =\frac{1}{0.0043 } [(1+0.0043\times 25 )e^{\frac{1.7\times 10^{-8}\times 0.0043\times 2\times 270^{2} }{{(1.5\times 10^{-6})}^2\times 390\times 8.9\times 10^3} } -1]\approx 775.7^\circ C

我们再看题主的说法:「 1.5平方的铜线在持续2秒通270A电流情况下是没有问题的也无发热 」,这是不可能的!!!

第二步:我们来算一算导线断电10分钟,它的温度能下降到多少度

我们用到的公式是:

\tau=\tau_me^{-\frac{t}{T}} ,式2

式2中,τ是温升,就是铜导线表面温度与环境温度之差;τm是最高温升。

注意:当t=4T时,代入到式2中,得到τ=0.0183τw,也即散热基本完成。可见,计算热时间常数非常关键。

热时间常数T的定义式如下:

T=\frac{mc}{K_tA} ,式3

热时间常数表达式中的m是质量,c是材料的比热容,Kt是综合散热系数,A是散热面积。

理论和实践都证明,对于某特定的材料,要经过4T的时间它的温升τ才能上升到稳定温升τw,温度达到最高温度;同理,要经过4T的时间它的温升才能下降到零,温度下降到环境温度。

我们先来计算这根铜导线的热时间常数T。

由于是裸导线,它的散热较好,Kt的值取为15W/(m^2°C)。另外,铜导线的两个端面对散热起不了多大贡献,为了计算方便,我们把两个端面忽略。至于长度嘛,我们就设为2米吧。

因为导线的截面积 S=\frac{\pi D^2}{4} ,我们由此可以计算出直径D,再进一步计算出截面周长,乘以长度L,就得到表面积A,也就是散热面积:

A=2\pi L\sqrt{\frac{S}{\pi}}=2\pi\times 2\times \sqrt{\frac{1.5\times 10^{-6}}{\pi}}\approx 8.6832\times 10^{-3}m^2

这段电线的质量: m=SL\gamma=1.5\times 10^{-6}\times 2\times 8.9\times 10^3\approx0.0267kg

我们由此就可以计算出热时间常数T:

T=\frac{mc}{K_tA}=\frac{0.0267\times 390}{15\times 8.6832\times 10^{-3} }\approx80.0s

我们由此知道,对于题主的截面积1.5平方毫米长度为2米的铜导线来说,当t=4T=4x80=320s时,温升就降到很小的值,我们代入数据证明一下:

\tau=\tau_me^{-\frac{t}{T}}=775.7e^{-\frac{4T}{T}}\approx 14.21K

我们把它加上环境温度θ0=25°C,得到:

\theta=\tau+\theta_0=14.21+25=39.21^\circ C

这就是答案:当停止通电后320秒,导线的温度由775.7度下降到39.21度。当10分钟时,温度则下降到25.43度,与环境温度的偏差人体已经感觉不出来了。

给题主提个问题

题主的疑问:「有没有计算一根电线1秒内可以最高承受多大电流?」。

如何计算?很简单,铜导体的最高温升在国家标准中是60K,我们由下式即可算出该裸导线允许通过的电流值:

I=\sqrt{\frac{K_tM\tau S}{\rho}} ,式4

式4中,M是导线截面积的周长,τ取值为60,ρ是铜的电阻率,S是导线的截面积,Kt是综合散热系数,若有包塑料层,则它的值比较小,在6到9之间。

题主自己去计算把。

既然题主向大家提问,我回答了题主的问题,我反过来问题主一个问题:为何式4中没有导线长度?事实上,我们在查电工手册的导线载流量表时,也会发现导线的载流量与长度无关,为何?

看了几个评论,各有各的说法,甚至连开脑洞都有。我给出正解吧。

我们看下图:

我们从上图中看到,当导线的温升进入稳态后,导线的散热既可以从它长度方向的表面散热,也可以从两个端面散热。但我们知道导线的长度远远大于端面直径,因此端面的散热可以忽略不计。

我们看到导线的发热功率为: P_1=I^2R=I^2\rho\frac{L}{S} ,式5

也就是说,导线的发热功率与导线的长度L成正比。

再看导线的散热。

当导线的温升进入稳态后,导线的散热功率为: P=K_tA\tau=K_tML\tau ,式6

我们看到, 导线的散热同样与导线的长度成正比。

导线在稳态条件下,导线自身温度升高值等于零,它消耗的热功率当然也等于零。于是,导线的发热功率等于导线的散热功率。因此我们有:

I^2\rho\frac{L}{S}=K_tML\tau ,式7

我们把式7等号左右两侧的长度L删去,稍加变形后,就得到: I=\sqrt{\frac{K_tM\tau S}{\rho}} 。

这就是式4,我们从中看到导线载流量与导线长度无关的原因。

看到某位知友说式1中的温度θ要用开尔文温标,这是不对的,这里的θ是摄氏度温标。

我们知道,导线流过电流I后会发热,但由于电流存在的时间很短,只有2秒,类似于短路,它的散热等于零,类似于绝热过程。如此一来,我们有:

I_k^2\rho_0(1+\alpha\theta)\frac{L}{S}dt=c\gamma SLd\theta

其中等号左边就是导线在dt时间段内产生的热量,而等号右边则是导线温度上升所消耗的热量,其中dθ就是温度的改变量。注意,这里的dθ的单位是摄氏度,而电阻温度系数α的单位是1/°C,不是开尔文温标。

我们从上式中积分求出θ,就得到了式1: \theta _{k} =\frac{1}{\alpha _{0} } [(1+\alpha _{0} \theta _{0} )e^{\frac{\rho _{0} \alpha _{0}t_{k} I_{k}^{2} }{S^2c\gamma } } -1] ,与开尔文温标一点关系也没有。

另外,有知友提问:与集肤效应有关吗?

回答是:如果导线的直径较大,例如导线的半径超过50Hz交流电的穿透深度b=8.3mm,则必须考虑集肤效应的影响。此时式1变成如下形式:

\theta _{k} =\frac{1}{\alpha _{0} } [(1+\alpha _{0} \theta _{0} )e^{\frac{K_f\rho _{0} \alpha _{0}t_{k} I_{k}^{2} }{S^2c\gamma } } -1]

注意,在指数项的分子部分,多了一个Kf,Kf叫做交流附加系数。在一般情况下,50Hz交流电的Kf=1.05,故可忽略不计。

对于题主的导线,截面积仅仅才1.5平方,故无需考虑集肤效应的影响。