驚呆了，這不是一道小學數學的題目嗎？題目如果是 1+0.9+0.09+0.009+0.0009... 和 2 比較那還差不多，而竟然是 1+0.1+0.01+0.001+0.0001...，就是 1.1111111111... 啊，也太誇張了吧，1.2、1.1111111112、1.3、1.4、1.5 都沒到，怎麽可能到達 2。看來得給題主補補小學數學了。 請翻開人教版數學四年級下冊課本 35 頁和 41 頁，好好復習復習。
① 小數的表示
開啟 35 頁（見圖1)，「做一做」中習題看到沒，這就是小數各數位組成的概念，對於題目的：
1+0.1+0.01+0.001+0.0001...
就是1個一，1個十分之一，1個百分之一，1個千分之一，1個萬分之一...的和，這正是無限小數各數位的組成，即：
1.\dot{1}=1.111111... =1+0.1+0.01+0.001...
顯然，這是一個 迴圈小數 。 1.\dot{1} 和 2 誰更大呢，也就是 1.1111111111... 和 2 比較誰大誰小，你會判斷了嗎？
② 小數的大小比較
方法一（直接比較）：
翻到 41 頁（見圖2），復習怎麽比較小數大小 ，先比較整數部份，整數部份相同就比較十分位，十分位相同就比較百分位，依此類推。
題目要比較1.\dot{1} 和 2 的大小關系， 顯然整數部份 1 比 2 要小，而且十分位的數位 1 比 9 小 [註：因為1.111...為迴圈小數，我們要再判斷此小數下一位是不是數位9]，故 1.\dot{1} < 2。
我們還可以使用小數性質和數位大小關系來 更嚴格地證明以上大小關系 ：
由 0.0\dot{1}\leq0.1， 得 1.\dot{1}=1.1+0.0\dot{1}\leq1.1+0.1=1.2<2。
練習題：我們已知圓周率\pi 的具體數值為3.1415926... ，那麽3.1415926... < 4 和1.\dot{1} < 2 比較的形式一樣嗎？你能說出3.1415926... 和4 之間的一個數位嗎？如何用上面的證明方法證明3.1415926... < 4 （大家動手試一試）？
方法二（化成分數比較）：
那萬一碰到類似 0.\dot{9} 和 1 比較的情況呢？
別急，請開啟人教版五年級下冊課本第 77 頁（見圖3）， 復習怎麽將小數轉為分數，然後再比較大小。
我們繼續拿 1.\dot{1} 和 2 比較作例子說明：
由\frac{1}{9}=0.\dot{1} ，得 1.\dot{1}=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}<2，
即 1+0.1+0.01+0.001+0.0001...<2。
練習題：0.\dot{9} 如何轉化為分數和 1 比較呢？
③ 拓展內容 （小學超綱知識，可跳過，若感興趣可進一步鉆研）
（1）如何嚴謹證明 0.\dot{9} 和 1 相等
上面提到的用分數論證 0.\dot{9} 和 1 相等的證明方法是對的嗎？有沒有更嚴謹的證明方法呢？請參見知乎上已有的詳細解答：為什麽 0.9 的迴圈等於 1？，如何嚴謹地證明 0.9999…=1？。這裏不再贅述。
註：數學證明各有不同的嚴謹性、背景假設和目標受眾。對於非數學研究人員來說，將 0.\dot{9} 轉化為分數相乘等於1的形式，或將整體看作一個未知變量乘10之後求差得到未知變量為1的證明形式，均是正確的證明方法；而對於基礎數學研究來說，對 0.\dot{9} = 1 最嚴謹的論證則需要用到實數理論。這些論證形式在奧數教材或數學期刊中都有給出過， 維基詞條上更是有詞條 「0.999...」（ https://en.wikipedia.org/wiki/0.999... ） ， 從最簡單到最復雜的近十種證明，都全部列出來，本詞條上也強調這些證明都是正確的，只是嚴謹性和受眾目標各不同而已 。法國數學家 Jean-Paul Delahaye 也發表過文章【0.999...=1?】（0.999...= 1？），系統性地介紹了從初等數學到高等數學的各種論證形式。
（2）用圖形直觀表示 1.\dot{1}
如圖4所示，最大的正方形面積為單位1，小一點是0.1（邊長等於單位1對應正方形邊長的 \frac{1}{\sqrt{10}} ），再小一點的是0.01（邊長等於0.1對應正方形邊長的 \frac{1}{\sqrt{10}} ），依次畫下去， 全部粉紅色部份就代表小數 1.\dot{1} 的大小 。
白色部份則是第二個單位1的正方形剩下的空間，從直觀上看 1.\dot{1} 比 2 小得多，而且越到後面的正方形越擠到下面箭頭位置的角落中，1.\dot{1} 也無法收斂於 2 ，畢竟中間還有 1.112，1.12，1.2，1.\dot{2}，1.\dot{9} 等等數位。
