一般來講阻力都是與運動速度或速度平方成正比。一個比較常見的流體阻力公式是
F_D = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A ，
其中 \rho 是流體密度，C_D 是阻力系數， A 是橫截面積。
總之 F_D = Cv^2 ，把別的全寫成常數就好了。值得註意的是這裏我們把物體完全考慮成了橫截面相同的，如果飛行中變了，那阻力自然也變了。
至於別的東西就跟平常沒啥兩樣了。這裏做個常規的拋物線的例子吧。
u 為起始速度， \theta 為與水平面的起始角度。執行中只受兩個力，重力和阻力。用常規方法設定參照系，原點為拋物線起點。
合力： \vec F = \vec F_g + \vec F_D = \begin{pmatrix} -Cv_x^2 \\ -mg - Cv_y^2 \end{pmatrix} = m \vec a = m \frac{d\vec v}{dt} ，
\Rightarrow \frac{d v_x}{dt} = -C'v_x^2 ; \frac{dv_y}{dt} = -g-C'v_y^2 ， C' = \frac{C}{m} ，另一個常數。
\Rightarrow \int_{u \cdot cos(\theta)}^{v_x} - \frac{1}{v_x'^2} dv_x' = \int_{0}^{t} C' dt' ; \int_{u \cdot sin(\theta)}^{v_y} \frac{dv_y'}{1 + cv_y'^2} = \int_{0}^{t} -g dt' ， c = \frac{C'}{g} ，同樣常數而已。
第一個是
[\frac{1}{v_x'}]_{u \cdot cos(\theta)}^{v_x} =\frac{1}{v_x} - \frac{1}{u \cdot cos(\theta)}= C't ，
第二個
\int_{u \cdot sin(\theta)}^{v_y} \frac{dv_y'}{1 + cv_y'^2} = \int_{0}^{t} -g dt' \\ \Rightarrow tan(\vartheta) = \sqrt{c} v_y' \Rightarrow sec^2(\vartheta) d\vartheta = \sqrt{c} d v_y' \\ \Rightarrow\int \frac{1}{\sqrt{c}}\frac{sec^2(\vartheta) d\vartheta}{1 + tan^2(\vartheta)} = \int \frac{1}{\sqrt{c}}\frac{sec^2(\vartheta) d\vartheta}{sec^2(\vartheta)} = \frac{\vartheta}{\sqrt c} ，
因此
[\frac{arctan(\sqrt{c}v_y')}{\sqrt c}]_{u \cdot sin(\theta)}^{v_y} = \frac{arctan(\sqrt{c}v_y) - arctan(\sqrt{c} \cdot u \cdot sin(\theta))}{\sqrt c} = -gt ，
由此我們就有了
\vec v = \begin{pmatrix} \frac{u \cdot cos(\theta)}{1+ u \cdot cos(\theta) C't} \\ \frac{1}{\sqrt c} \cdot tan[\ arctan(\sqrt{c} \cdot u \cdot sin(\theta)) - \sqrt{c} gt\ ] \end{pmatrix} ，稍微整理一下
\vec v = \begin{pmatrix} \frac{1}{1+ u \cdot cos(\theta) C't} u \cdot cos(\theta) \\ \frac{1}{{1 + \sqrt{c} \cdot u \cdot sin(\theta) tan(\sqrt{c}gt)}} (u \cdot sin(\theta)- \frac{1}{\sqrt c}tan(\sqrt{c}gt)) \end{pmatrix} ，
可以看出來隨著時間的增加，x方向上的速度逐漸減小，
而y方向的話也是一個遞減的關系，大概的走勢可以用
\frac{1 - tan(x)}{1 + tan(x)} 來類比，只是系數不一樣。可以看出來跟只受重力時的線性降速是有區別的。（值得一提的是計算中物體向上運動，因此我們用的阻力是向下的，但是如果物體開始下落後，阻力應該是向上的，這個變化在這裏是表現不出來的）
同時，可以看出來當阻力小的時候（ C' 和 c 都小的時候）， \vec v 會收斂到
\vec v = \begin{pmatrix} u \cdot cos(\theta) \\ u \cdot sin(\theta)- gt \end{pmatrix} ，而這個就是只受重力的時候。
那麽運動狀態就是 \vec v 再做一次積分，大致明白是個什麽情況就好了，這裏就暫時不繼續往下寫了。
