中心荷 (central charge) 是一個只在量子理論中會出現的概念。絕大部份人接觸到中心荷這個概念是因為共性場論裏的 Virasoro algebra：
[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + {c\over 12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}
這裏中心荷 c 引導了一個共性代數的中心擴張。出現這一項的主要原因來自於量子理論中相位的不確定性。換句話說就是量子態不是 Hilbert 空間的一個點，而是一條射線。更具體地說，就是 |\psi\rangle 和加一個相位的 e^{\mathrm i\phi}|\psi\rangle 表示的是同一個量子態。這對於我們研究量子理論中的群表示帶來了額外的 complication。具體來說，如果我們需要一個群 G 在 Hilbert 空間上的表示，直覺上可能認為我們需要
U(g_1)U(g_2) = U(g_1g_2)
但因為 Hilbert 空間中不同相位的點代表同一個態，所以我們實際上需要的是投影表示
U(g_1)U(g_2) = e^{\mathrm i\phi(g_1,g_2)}U(g_1g_2)
多出來的這個相位 \phi(g_1,g_2) 可以是群元 g_1,g_2 的某個函式。現在考慮群 G 是一個李群，從而可以用座標 x 來描繪群元。我們有
\begin{array}{c} x_{3}^{a}\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{a}+x_{2}^{a}+\gamma^{a b c} x_{1}^{b} x_{2}^{c}+\cdots \\ \phi\left(g_{1}, g_{2}\right) \equiv \phi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\gamma^{b c} x_{1}^{b} x_{2}^{c}+\cdots \\ U(g(x))=1+i x^{a} T^{a}+\frac{1}{2} x^{a} x^{b} T^{a b}+\cdots \end{array}
其中 T^{ab} 是一個對稱的 Hermitian 張量，座標 x 限制在單位元素附近並且 g_1g_2 = g(x_1) g(x_2) = g(x_3(x_1,x_2)) 。這樣一來我們透過對比可知
-T^{c} T^{b}=i \gamma^{c b} 1+i \gamma^{a c b} T^{a}+T^{c b}
從而可以計算 commutator
\left[T^{b}, T^{c}\right]=i f^{a b c} T^{a}+i f^{b c} 1
其中 f^{a b c} \equiv \gamma^{a c b}-\gamma^{a b c} , f^{b c} \equiv \gamma^{c b}-\gamma^{b c} 。你會發現第二項便是所謂的中心擴張，而 f^{ab} 便是相應的中心荷。所以你可以清晰地看到中心荷是投影表示的直接產物，而源頭就是量子態對於相位的自由度。
以上推導參考 Weinberg QFT I。
